Случай одной независимой переменной.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пусть -неявная функция , т.е. она определяется из уравнения , не разрешённого относительно . Это значит, что при каждом значении , при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение так, что . Если - дифференцируемая функция переменных и , то производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть найдена по формуле , при условии, что Формула позволяет находить n-ую производную от по , зная (вычисляя от следующие производные).

Пример 3 . Найти , если функция задана неявно уравнением , где -величина постоянная.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения . Найдём её частные производные

, .

Применив формулу , получаем .

Случай нескольких независимых переменных.

Если функция z от двух независимых переменных x и y задана уравнением , не разрешённым относительно z, то говорят, что z(x,y) есть неявная функция переменных x и y. Если -дифференцируемая функция переменных х , у и z и , то частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам:

, .

Существует ещё другой способ нахождения производных от неявно заданной функции z, без использования формулы . Для этого нужно продифференцировать уравнение: ; считая переменные равноправными . Из этого уравнения найти : , а следовательно, будем знать , . Чтобы найти вторую производную, например , надо продифференцировать по независимой переменной х найденную первую производную, учитывая при этом, что z есть функция, зависящая от х.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке М(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к различным кривым, проведённым на поверхности через эту точку М.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания M.

A. Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме , где -дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид , где , , , а -текущие координаты касательной плоскости, x₀,y₀,z₀– координаты точки касания М₀.

Уравнения нормали к поверхности имеют вид

Б. В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме , то уравнение касательной плоскости в точке М плоскости имеет вид: ,

Уравнение нормали к поверхности записывается в виде ,

где , , -значения частных производных функции в точке М ,x,y,z-текущие координаты касательной плоскости.

Пример 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой х=1,у=1.

Решение. Прежде всего найдём аппликату точки касания . Итак, точка касания есть М(1,1,4). Находим частные производные данной поверхности, заданной в явной форме: , и вычислим их значения в точке М с координатами , , : . Будем иметь или - уравнение касательной плоскости, -уравнение нормали.

Формула Тейлора для функции

Двух переменных

Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными всех порядков до (n+1)-го порядка включительно в окрестности точки (a,b). Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:

где -остаточный член. Формулу Тейлора можно представить в других обозначениях, если обозначить приращение функции в виде , где h и k-соответствующие приращения аргументов х и у. Тогда

где , . Частный случай формулы Тейлора при a=b=0 называется формулой Маклорена.

Экстремум функции нескольких

Независимых переменных

Основные теоретические сведения.

Говорят, что функция при некоторой системе значений независимых переменных имеет максимум (минимум), если приращение функции

отрицательно (положительно) при всевозможных, достаточно малых по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных значениях приращений аргументов

. Максимум или минимум функции называется экстремумом. Экстремум здесь понимается в локальном смысле. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Для функции двух переменных удобно определение локального экстремума следующее:

Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке в достаточно малой окрестности точки , то есть, (или соответственно ) для всех точек , удовлетворяющих условию , где – достаточно малое положительное число. Аналогично определение экстремума функции трех и большего числа переменных, используя понятие многомерного пространства.

Необходимые условия экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то или ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю

; ; ; … ;

или частные производные при этих значениях не существуют.

Система равенств эквивалентна одному уравнению:

Итак, в точке экстремума первый дифференциал функции равен нулю или не существует. Количество уравнений в системе равно числу независимых переменных. Точки, в которых вычисляются равенства , называются стационарными (или критическими) точками. Эти точки являются только подозрительными на экстремум, так как не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Поэтому, равенства выражают необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Достаточные условия экстремума.

Для того, чтобы решить вопрос, какие стационарные точки, получаемые из решения системы уравнений:

; ; ;…; , доставляют функции максимум или минимум, или ни то, ни другое, обращаются к исследованию дифференциала второго порядка этой функции. Пусть - стационарная точка функции ,. Тогда если дифференциал второго порядка сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по модулю приращениях аргументов, то функция в точке имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда , а минимум – когда . Если дифференциал второго порядка не сохраняет постоянного знака, то функция в точке не имеет ни максимума, ни минимума. Если же обратится в нуль, то решение вопроса об экстремуме требует исследования дифференциалов порядка выше, чем второй.

Правило определения экстремума функции

двух независимых переменных.

Чтобы исследовать на экстремумы функцию двух независимых переменных x, y, следует:

1) Определить стационарные точки, в которых функция может достигать экстремума.

2) Для этого надо решить систему уравнений ; (необходимые условия экстремума)

2) Найти частные производные второго порядка ; ; и вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке. Достаточные условия экстремума выражаются с помощью определителя второго порядка. Например, пусть - найденная стационарная точка данной функции. Принято обозначать числа следующими буквами

; ; .

3) Составить определитель для каждой стационарной точки. При этом,

а) если то экстремум в стационарной точке есть: при A>0 (или C>0) будет минимум, а при A<0 (или С<0) будет максимум;

б) если , то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет;

в) если , то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции в стационарной точке остается открытым (требуется дальнейшее исследование функции с привлечением частных производных порядка выше второго, или, например, по знаку приращения вблизи этой точки).

Пример 1 . Исследовать на экстремум функцию

Решение: 1) Найдем частные производные первого порядка

;

Воспользуемся необходимым условием экстремума:

; составляем систему уравнений .

После сокращения на 6 имеем . Решаем систему. Из первого уравнения находим , подставляя его во второе уравнение, получим , или , или .Откуда имеем ; (остальные два корня уравнения будут комплексными, нас они не интересуют); далее из уравнения находим при и при . Итак, получим две стационарные точки ,

2) Для исследования достаточных условий экстремума нашли частные производные второго порядка ; ; и составляем определитель для каждой стационарной точки а) : ; ;

Получим число . Следовательно, в точке нет экстремума (ни максимума, ни минимума);

б) : ; ; . ^>0

Следовательно, экстремум есть в точке , причем минимум, так как A>0. Минимум этот равен значению функции при x=6, y=6: .

Приведем достаточные условия экстремума для функции трех независимых переменных, которые выражаются с помощью определителя третьего порядка.

Достаточные условия экстремума для функции

трех независимых переменных .

Эти условия выражаются с помощью определителя уже третьего порядка. Пусть дважды дифференцируемая функция трех переменных имеет стационарную точку , найденную из системы уравнений:

; ; ; (необходимое условие экстремума)

Составляем определитель третьего порядка

и вычисляем его для каждой стационарной точки. Имеем следующее правило: Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , достаточно, чтобы четный минор был положителен, а знаки нечетных миноров совпадали со знаком , то есть минор второго порядка в точке , причем: Если и то имеем минимум функции в точке , если и то имеем максимум функции в точке . Замечание: достаточно определить знак главного минора второго порядка.