Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Уравнения кривых второго порядка

Пусть общее уравнение кривой второго порядка

a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0

приведем к каноническому виду: , где , - собственные значения матрицы S . Вычисляем

1. если >0, то кривая эллиптического типа;

2. если <0 , то кривая гиперболического типа;

3. если =0, то кривая параболического типа.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

Пример . Дано: K(x,y)= 2x²+2y²-2xy-2x-2y+1=0.

Решение. Имеем a₁₁=2, a₂₂=2, a₁₂=a₂₁=-1; a₁=-1, a₂=-1, a₀=1 . Тогда матрица старших членов .

Составляем характеристическое уравнение

 

, или ^. Корни и – собственные значения матрицы S. Так как , и то данная кривая эллиптического типа.

Находим соответствующие им собственные векторы

и .

Для : , или , , .

Пусть c₁=1. Тогда . Нормируем , , где ; получаем .

Для : или , , .

Пусть с₂=1. Тогда . Нормируем , , где ; получаем , причем . Орты собственных векторов и образуют базис в новой системе координат x^/,y^/. Имеем матрицу Т линейного преобразования координат

Отсюда получаем формулы преобразования координат

, , или

, .

Подставляем в уравнения кривой найденные выражения для x и y: После раскрытия скобок и приведения подобных получаем (x^/)²+3(y^/)²-2 x^/+1=0, или (x^/)²-2 x^/+3(y^/)²+1=0.

Выделив, полный квадрат имеем: (x^/- )²+3y^/+1=0.

Пусть x^//=x^/- , y^//=y^/- параллельный перенос координатных осей. Тогда (x^//)²+3( y^//)²=1,или (x^//)²+( y^//)²/3=1-каноническое уравнение эллипса в координатах x^//, y^//, где a =1– большая, b= = 0,577 – малая полуоси эллипса (рис.11.1) .

Рис. 11.1

 

Поверхности второго порядка. Канонические формы

уравнений. Исследование поверхностей второго порядка

методом сечений

Определение.Поверхностью S второго порядка будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоуголь­ные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида

в котором, один из коэффициентов

отличен от нуля. Уравнение (*) называется общим уравнением поверхно­сти 2-го порядка.

Очевидно, что поверхность второго порядка как геометри­ческий объект не меняется, если от данной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат.

С помощью линейного ортогонального преобразования ко­ординат (или параллельного переноса и поворота осей) уравне­ние вида (*) можно привести к виду

Поверхность S второго порядка называется центральной, если уравнение центра поверхности имеет единственное решение

 

 

точка О₁ (х₀, у₀, z₀) называется центром поверхности 2-го порядка. Для упрощения будем рассматривать уравнение вида

Классификация центральных поверхностей

второго порядка

1°. Если коэффициенты а₁₁, а₂₂, а₃₃ одного знака,

а коэффициент а₄₄ 0, то в этом случае поверхность S

называ­ется эллипсоидом. Если знак коэффициентов а_11,а₂₂, а₃₃ противополо­жен знаку коэффициента а₄₄, то поверхность

называется ве­щественным эллипсоидом, в противном случае - мнимым эллипсоидом.

В дальнейшем термином эллипсоид мы будем называть

лишь вещественный эллипсоид.

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

 

 

Из уравнения следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коор­динат - центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и пред­ставляют собой длины отрезков от начала до точек пересече­ния эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность.

Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением z = h, a линия, которая

Отсюда следует, что при h < с плоскость z = h пере­секает эллипсоид по эллипсу с полуосями

Аналогичнаякартина имеет место при рассмотрении се­чений эллипсоида плоскостями, параллельными координат­ным плоскостям Oxz и Oyz. Сама плоскость Oxz (у =0)

пересекает эллипсоид по эллипсу

а плоскость Oyz (x = 0) по эллипсу

В случае a=b=c, эллипсоид является сферой.

 

Рис. 11.2

2°. Если из четырех коэффициентов а_11,а₂₂, о₃₃, а₄₄ два одного знака, а два других - противоположного, поверхность S называют однополостным гиперболоидом.

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида:

Из уравнения вытекает, что координаты плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат - цен­тром симметрии однополостного гиперболоида.

Рассмотрим его сечение координатной плоскостью Oxz

Это сечение представляет собой гиперболу, расположен­ную симметрично относительно координатных осей Ох и Oz и пересекает ось Oz в точках (а, 0, 0), (- а,0, 0).

Сечение плоскостью Oyz есть гипербола симметричная относительно осей Оу, Oz с точками на оси Oy (0, b, 0), (0, - b, 0).

 

Рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху:

Отсюда видно, что любая плоскость z = h пересекает

гиперболоид по эллипсу
Самых малых размеров эл­липс получается в сечении плоскостью z=0 (Oxy) он называется горловым эл­липсом.

Однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горлового клапана.

 

Рис. 11.3

Величины а, b, с называют ПОЛУОСЯМИ ОДНОПОЛОСТНОГОгиперболоида. В случае а = b уравнение (2') определяет окружность с центром на оси Оx. В этом случае однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей.

3°. Знак одного из первых трех коэффициентов а_11, а₂₂, а₃₃,а₄₄ противоположен знаку остальных коэффициен­тов. В этом случае поверхность S называется двухполостным гиперболоидом.

Пусть для определенности а₁₁>0, а₂₂ > 0, а₃₃ < 0, а₄₄ >0. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида имеет вид:

Его сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями

 

 

Это гипербола, симметричная относительно осей Ох и Oz и пересекающая ось Oz в точках (0,0,c)и(0,0,-с).

 

Сечение плоскостью Oyz представляет собой

гиперболу, симметричную относительно Оу и Oz и пере­секающую Oz в точках (0,0,с) и (0,0, - с).

Сечения данного гиперболоида плоскостями, параллель­ными координатной плоскости Оху

при условии, что представляет эллипс с полуосями:

Двухполостный гиперболоид -это поверхность, состоящая из двух отдельных «полостей». Каждая из них имеет вид бесконечной выпук­лой чаши.

Величины а,b,с называются полу­осями двухполостного гиперболоида.

При а=b двухполостный гипер­болоид модно рассматривать как по­верхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей .

 

 

Рис. 11.4

4°. Коэффициент a₄₄ = 0. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка. Если коэффициенты а_11, а₂₂, а₃₃ одного знака, то ле­вая часть обращается в нуль лишь для х = у = z = 0, то есть уравнению поверхности удовлетворяет одна точка.

В этом случае поверхность называется мнимым кону­сом.

Если коэффициенты а_11, а₂₂, а₃₃ имеют разные знаки, то

поверхность S называется вещественным конусом второго порядка. Каноническое уравнение его имеет вид:

Геометрической особенностью этой поверхности являет­ся то, что, если некоторая точка М (отличная от начала коор­динат) лежит на этой поверхности, то все точки прямой, кото­рая проходит через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Рис. 11.5

Эта геометрическая особенность вытекает из того, что уравнение однородно, т.е. все его члены имеют одну и туже степень, равную 2. Иначе говоря, поверхность, определяемая однородным урав­нением, состоит из прямых проходящих через начало координат. Такая поверхность называется конической или просто конусом. Прямые, из которых составлен конус, называются образующими. Точка, через которую они все проходят, назы­вается вершиной конуса.

Рассмотрим сечение плоскостыс

Плоскости z = h в сечении тоже дают эллипс. Это эллипс с полуосями a и b расположенный симмет­рично относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

Если а =b, то эллипс превращается в окружность и конус называется круглым.

Нецентральные поверхности второго порядка

1°. Эллиптический параболоид.Каноническое уравнение имеет вид:

Плоскости Oxz и Oyz являются для него плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью эллиптического парабо­лоида. Из уравнения следует, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве z О. Линии пересечения представляют собой эллипсы

При увеличении h эллипсы бесконечно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу. Плоскость х = h пересекает эллиптический параболоид по

параболе которая получается таким параллельным переносом параболы при котором ее вершина O(0,0,0) переходит в точку (h,0,z=h²/a²).

Рис. 11.6 Рис. 11.7

2°. Гиперболический параболоид. Каноническое уравне­ние имеет вид: . Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического параболоида. Он имеет форму седла. Точка О называется вершиной гипербо­лического параболоида.

Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = h при h > О представляют собой гиперболы:

При h < О - линии пересечения сопряженных гипербол. Плоскость z = 0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым ( асимптотам гипербол) ,
плоскость y= h пересекает гиперболический пара­болоид по параболе,

которая получается параллельным переносом параболы.

 

Цилиндры второго порядка

Рассмотрим цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oz.

В зависимости от характера сечения рассматриваемого цилиндра с плоскостью Оку различают цилиндры следующих типов:

1. Эллиптический цилиндр-каноническое уравнение:

Направляющей является эллипс (рис.11.8).

Рис. 11.8

 

Если а =b, то цилиндр называется круговым.

2.Параболический цилиндр (рис.11.9). Направ­яющей является парабола.

 

Рис. 11.9

3.Гиперболический цилиндр (рис.11.10). Направляющей является гипербола

 

Рис. 11.10

Пример. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением .

Решение.

1) В сечении поверхности плоскостью имеем две параллельные прямые .

2) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

3) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых при-ближаются к оси при увеличении .

4) В сечении поверхности плоскостью имеем две параллельные прямые

5) В сечении поверхности плоскостями y=y₀>0 имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

6) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство парабол , вершины которых приближаются к оси при увеличении .

7) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство гипербол при и при (сопряженные гиперболы). В случае получается . Замечаем симметричность сечений поверхности относительно прямой . Поэтому дальнейшее исследование проводим с учетом этого обстоятельства.

Рис. 11.11

8) В сечении поверхности плоскостями имеем семейство гипербол при и при (сопряженные гиперболы). В случае получаем две пересекающиеся прямые .

9) Сечения поверхности плоскостями имеют проекции на плоскость , описываемые уравнениями , т.е. эллипсы, у которых полуоси увеличиваются с увеличением . Отношение полуосей этих эллипсов равно , а плоскости составляют угол 45º с плоскостью , поэтому сами сечения имеют форму окружностей.

Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изобразить заданную поверхность (рис. 11.11). Этой поверхностью является однополостный гиперболоид, ось которого – прямая .

 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ТЕОРЕМА

БЕЗУ. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

И ЕЕ ПРЕДЕЛ.

Комплексные числа и действия с ними

Алгебраическая форма z=a+b·i, b ?R, i²= - 1, гдеa = Re z – действительная часть числа (вещественная), b = i m – мнимачасть числа z. Если a ≠ 0, b≠ 0, то z - мнимое число (z = 97-7· i).

Если a = 0, b ≠ 0, то z - чисто мнимое число (z=55· i).

Если a≠0, b=0,то z - действительное число (z=-4).

Для i выполнено: i¹ = i=> i^4п+1 = i, i²= -1=> i^4п+2= -1,i³= i²·

i=- i=> i^4п+3=- i, i⁴=( i²)²=1 => i^4п=1. Числа z=a+b·i и z=a-b·i– сопряженные; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z+ =2а, z· =а²+b²); z=a+b·i и -z=-a-b·i- противоположные. Сумма двух противоположных чисел равна 0(z+(- z)=0).

Для комплексных чисел, записанными в алгебраической форме справедливы все арифметические операции, как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i²=-1

Условие равенства комплексных чисел z₁=a₁+b₁·i и z₂=a₂+b₂·i, z₁= z₂ , если a₁ = a₂ и b₁ = b₂ .

Сумма комплексных чисел z₁=a₁+b₁·i и z₂=a₂+b₂·i равна: z₁+ z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)·i.

Разность комплексных чисел: z₁ - z₂= (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) ·i

Произведение комплексных чисел равно: z₁·z₂ = (a₁ · a₂ – b₁ · b₂) + (a₁ · a₂ + b₁ · b₂).

Частное комплексных чисел равно:

 

 

Понятие о комплексной плоскости.

Комплексная плоскость С – плоскость с прямоугольной декартовой системой координат x, y, каждая точка которой

(x; y) отождествлена с комплексным числом z=x+yi. Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z или о векторах z, подразумевается вектор, приложенный в начале координат с концом в точке z. Ось абсцисс OX на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат OY – мнимой осью.

Геометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число c=a+b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a; b). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые –точками оси ординат.

 

 

Рис. 12.1

 

Тригонометрическая форма комплексного числа.

z = r · (cos + i sin ), где r·cos =Re z; r·sin =Im z;

r = , cos = sin =

=Argz – главный аргумент комплексного числа z,- < .

Для комплексных чисел z₁=r₁·(cosφ₁+i·sinφ₁) и z₂=r₂·(cosφ₂+i·sinφ₂) справедливы равенства:

z₁·z₂=r₁·r₂· (cos (φ₁+ φ₂) +i· sin (φ₁+φ₂));

(cos (φ₁- φ₂) +i· sin (φ₁-φ₂)).

Для п-ой степени числа z справедливо равенство:

zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ)), n N.

При r=1 эта формула называется формулой Муавра:

(cosφ + i· sinφ)ⁿ=cos(nφ)+i·sin(nφ).

Корень п-ой степени:

, где κ = 0, 1, 2, …, n-1

Показательная форма комплексного числа.

z=r·e^i·φ. e^±i·φ=cos φ±i ·sin φ – формула Эйлера.

Для комплексных чисел , справедливы равенства:

; , где r₂>0.

Для n-ой степени числа z справедливо равенство: zⁿ=rⁿ·e^i·n·φ.

Корень n–ой степени из числа равен:

, κ=0,1,2,…,n-1

Пример . Найти все значения корня:

Решение: Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n разных значений, которые находятся по формуле:

; k=0, 1 ,…, n-1; z 0

Подставляя в эту формулу различные значения k, найдем все значения корня :

= , =

= - i, = -2 – i2

Ответ: =

 

Теорема Безу.

Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Многочленом п-й степени в комплексной области называется функция вида

 

 

где a_k,, k = 0,1,2,...,п - коэффициенты многочлена

( действительные или комплексные числа); z - комплексная переменная z = x + i y, x,y R.

Если a_k - действительные числа, многочлен называется многочленом в комплексной области с действительными коэффициентами. Область определения многочлена все комплексные числа, т.е. множество С. Любому числу z₀ C соответствует число P_n (z₀). Если P_n(z₀)=0, то z₀ называ­ется корнем или нулеммногочлена P_n(z). Два многочлена называются равными и , если выполняется равенство a_k = b_k , к = 1,2,3,...,n.

Теорема 1 (Безу). Для того, чтобы многочлен P_n(z) имел комплексный корень z₀, необходимо и достаточно, чтобы он делился на двучлен z-z₀, т.е. чтобы справед­ливым было представление P_n(z) = (z-z₀) P_n (z) , где P_n-1(z) - многочлен степени п-1.

Необходимость. Пусть z₀ корень многочлена P_n(z), тогда P_n(z₀)=0. По фор­муле Тейлора для многочлена

P_n(z) = (z-z₀) P_n (z)

Достаточность Если для многочлена справедливо представление в виде: P_n(z) = (z-z₀) P_n (z) , то при z = z₀ многочлен P_n(z₀)=0, а это означает, что z₀ -корень уравнения.

Из теоремы Безу не следует существование корней. Вопрос о существовании корней многочлена решает следующая теорема .

Теорема 2 (основная теорема алгебры).Любой многочлен P_n(z), n N, имеет по крайней мере один комплексный корень. Число z₀ называется простым корнем многочлена P_n(z), если этот многочлен делится на (z -z₀) и не делится на (z - z₀)² . Число z₀ называется k- кратным корнем многочлена P_n(z), если P_n(z) делится на (z-z₀)^k и не делится (z-z₀) ^k+1,т.е. P_n(z) представим в виде: P_n(z) = (z-z₀)^k P_{n - k} (z), где

P_{n -k} (z) не делится на (z-z₀).

Пример1.Показать, что z₁ =0, z₂ = -1 являются корнями многочлена P₃(z) - z³ + 2z² +z, и определить их кратность. При z₁=0 многочлен P₃ (z₁) = 0. Разделим P₃ (z) на z, получим P₂(z) = z² +2z + l, причем Р₂ (z₁) . Следовательно z₁ = 0 является простым (однократным) корнем многочлена P₃(z) = z³+2z²+z. При z₂ = -1 Р₃ (z₂) = -1 + 2 -1 = 0. Представим Р₃ (z) = z(z² + 2z +1) = z(z +1)². Отсю­да делаем вывод, что z₂ = -1 является корнем кратности два для многочлена P₃(z) = z³+2z²+z.

Следствие. Многочлен P_n(z) имеет п комплексных корней с учетом их кратно­сти, т.е.

,

где z_l,, z₂ , z₃,... ,z_s - различные корни P_n(z), a n_l, n₂,... ,n_s - их кратности, причем n₁+ n₂+...+n_s = п.

Многочлен с действительными коэффициентами. Разложение его на ли­нейные и квадратные множители.

Рассмотрим многочлен n – й степени

где a_k R,

k = 0,1,2,...,n; z С.

Для такого многочлена справедливы следующие две теоремы.

Теорема 3.Если многочлен P_n(z) с действительными коэффициентами, то

т.е. если Р_п (z) = А + i B, А,В R, то Р_п( ) = A- i B.

Для комплексных чисел справедливы следующие равенства

 

 

(доказываются непосредственной проверкой). Для действительных чисел . Следовательно,

 

Теорема 4. Если многочлен P_n (z) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z₀ = a + i b, то он имеет и сопряженный корень . Пусть z₀ = a + i b - корень многочлена P_n(z). Тогда P_n (z₀) = A + i B=0; А, В R. Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мни­мые части, А =0, В =0.

Вычислим

Имеем , учитывая, что А =0, В = 0, корень многочлена P_n (z). Из теоремы 4 следует, что если многочлен с действительными коэффициента­ми P_n(z) имеет комплексные корни, то они входят в его разложение попарно сопря­женными.

Рассмотрим произведение линейных множителей для попарно сопряженных

 

Обозначим a²+b²=q, -2a=p, тогда (z-a-ib)(z-a+ib) =z²+pz+q, т.е. полу­чили квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Если число z₀ = а + i b является корнем кратности k многочлена P_n(z] с действи­тельными коэффициентами, то является многочленом той же кратности. Из всего сказанного следует, что многочлен с действительными коэффициен­тами P_n(z) разложим на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности :

 

Пример2. Разложить на множители следующие многочлены:

 

1) Р₃ (х) = х³-6х² +11x-6

 

Найдем подбором один корень среди делителей 6. Это х=1. Остальные два можно найти, решая квадратное уравнение х² +5х + 6=0, левая часть которого полу­чается после деления многочлена Р₃(х) = х³-6х² +11x- 6 на х - l. Таким образом по­лучаем еще два корня х₂=2, х₃=3. Тогда получим воспользовавшись формулами сокращенного умножения

 

Числовая последовательность и ее предел.

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить тождественные преобразования данного выражения, как говорят, раскрывать неопределенность.

Неопределенности бывают нескольких видов: , ,{ },{ },{ },{ },{ },{ }. В последующих заданиях рассмотрим основные приемы, которыми обычно пользуются при таких преобразованиях для вычисления заданного предела. Функция f(x) называется функцией натурального аргумента, если множество значений x , для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел: 1,2,3,..n. Например, f(n)=1+2+…+n=(n+1)n/2 - сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел a₁,a₂,…a_n, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, по которому общий членa_n последовательности задается как функция натурального аргумента, т.е. f(n)= a_n ( индекс n обозначает номер переменной величины a_n , т.е. n –го члена последовательности). Число А называется пределом последовательности a_n ,если для любого сколь угодно малого числа можно указать такой номер N , зависящий от , что для всех номеров n>N выполняется неравенство: ^.

Пишут: ,или при , если для , что при : .

 

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность {a_n}, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае {a_n} будет расходящейся.

Пример 1.Вычислить

 

Решение.Выносим за скобки n в набольшей степени, т.е.

 

 

 

 

 

 

Число е и его применение.

Числом е называют предел

или