Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Частные производные первого порядка

Если и одна из переменных, например x, получила приращение (при постоянных других переменных y и z), то разность называется частным приращением по функции . Соответственно, имеем частные приращения функции по y и по z

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, или в более подробной записи

вычисленная при постоянных y,z. Обозначается одним из символов , , , . Аналогично, предел отношения при стремлении к нулю называется частной производной функции по y:

Частная производная по z есть производная , равная пределу , то есть .

Очевидно, что для нахождения частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования; только следует иметь в виду, что при нахождении частной производной надо считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой берется частная производная.

Пример 1 .Найти частные производные функции

Решение. Рассматривая переменные , как постоянные величины, получим . Считая , постоянными, дифференцируем функцию по :

. Аналогично, дифференцируем функцию по z, считая x,y постоянными: .

Полный дифференциал функции.

Полным приращением функции двух независимых переменных в точке M(x,y) называется разность

где и – произвольные приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке (x,y), если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где слагаемое есть бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению с бесконечно малой .

Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть

Дифференциалы dx, dy независимых переменных x и y совпадают с их приращениями, то есть , – это числа, равные между собой. Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:

, где ,

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле

Заметим, что в выражениях , скобки можно опустить, так как , рассматриваются как единый символ. Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Значит, если функция имеет полный дифференциал, то она дифференцируема.

Применения полного дифференциала

к приближенным вычислениям.

Имеем связь между полным дифференциалом функции и ее полным приращением: .

Вычисление (приращения функции) представляет собой задачу, более трудоемкую, чем вычисление ее дифференциала dz, а потому в практических вычислениях с достаточной точностью при малых приращениях аргументов заменяют вычисление приращения функции вычислением ее дифференциала. При достаточно малых , , а значит, при достаточно малом для дифференцируемой функции имеет место приближенное равенство

или . Итак, получим или , где , . Это приближенное равенство тем точно, чем меньше величины , .

Пример 2 . Вычислить приближенно величину

Решение:Рассмотрим функцию . Воспользуемся формулой. Имеем , , , Значение функции в точке : . Вычисляем , где ; ; откуда

. Значит, .

Дифференцирование сложной функции

1) Случай одной независимой переменной.

Если есть дифференцируемая функция двух аргументов x и y в некоторой области D плоскости XOY, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t, то есть , , то сложная функция - есть функция одной переменной t и имеет место равенство . В частности, если t совпадает с одним из аргументов с x , то справедлива формула и называется полной производной функции z по x.

Пример 3. Найти , если , где , .

Решение.Воспользуемся формулой. Предварительно находим

, , , . Тогда

Пример 4 . Найти частную производную и полную производную , если , где .

Решение. Имеем . Находим

Случай нескольких независимых переменных.

Если z есть сложная функция нескольких переменных, например , где аргументы x, y, так называемые промежуточные переменные, являются функциями независимых переменных u, v: , , то сложная функция фактически является функцией двух «конечных» переменных u, v. Если функции — дифференцируемые функции, то частные производные по выражаются так:

, или

Структура формул та же и при большем числе переменных.

Пример 5 . Найти и , если , ,

Решение: Находим ; ; ; ; ; ;

Подставляя полученные выражения в формулы, имеем:

Ответ можно оставить в такой форме или выразить через u и v. В результате получим: ,

Инвариантность формы полного дифференциала.

Отметим важное свойство инвариантности формы полного дифференциала. Во всех рассматриваемых выше случаях справедлива формула:

. (*)

Действительно, дифференциал сложной функции , где переменные , есть функции от новых независимых переменных u и v, можно получить, если в формуле (*) дифференциалы dx и dy заменить (по определению):

; .

В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv получим:

где , ,

полученная формула показывает, что форма первого дифференциала не зависит от того, являются ли x и y независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью (неизменяемостью) формы первого дифференциала.

Производная по направлению.

Градиент функции и его свойство

1. Производной от функции в точке по данному направлению вектора называется , где , и - значения функции в точках М и М₁.

Если функция дифференцируема, то производная (по направлению ) вычисляется по формуле: , где α- угол, образованный вектором с осью ОХ. В случае функции трёх переменных производная по направлению определяется аналогично и вычисляется по формуле ,

где , , , т.е. α,β, -углы между направлением и соответствующими координатными осями, а - направляющие косинусы вектора , причём . Производная от функции в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Производная равна нулю по любому направлению, касательному к поверхности уровня .

Производная достигает своего наибольшего значения по направлению нормали к поверхности уровня.

Пример 6.Найти производную в точке М(1;0) по направлению, составляющему с ОХ угол в .

Решение. Найдём частные производные и их значения в данной точке М: .

Далее определяем , .

Получим искомую производную . Знак минус показывает, что функция в данной точке по данному направлению убывает. Известно, что направляющие косинусы вектора находятся по формулам

; ; , где

2. Градиентом функции в точке называется вектор, выходящий из точки М и имеющей своими координатами частные производные функции, т.е.

. На основании этого определения проекции вектора на координатной оси записывается так: , . Предполагается при этом, что функция -однозначная непрерывная, имеющая непрерывные частные производные, т.е. дифференцируемая. Значит, производная данной функции в направлении связана с градиентом функции следующей формулой: , т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции двух переменных в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции. Значит направление вектора в каждой точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т.е. при производная наибольшая

при . В этом состоит основное свойство градиента: градиент указывает направление наибольшего роста функции в данной точке. Аналогично определяется градиент функции трёх переменных . Он равен . Градиент функции трёх переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Производные и дифференциалы

Высших порядков

Частные производные высших порядков.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ,

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и выше третьего порядков; например: ; и т.п.

Символ обозначает частную производную третьего порядка функции , вычисленную три раза по х; символ обозначает, что от функции z взята частная производная третьего порядка, причём она вычисляется два раза по х и от полученной производной вычислена один раз производная по у. Имеет место такая важная теорема: если частные производные непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования. Таким образом, так называемые смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования , равны между собой, если они непрерывные функции, например: .

Пример 1 . Найти частные производные второго порядка от следующих функций: а) z=2xy; б) z=ln(x²+y²); в) /

Решение.Находим сначала частные производные первого порядка. Затем их дифференцируем вторично:

а) ; ; ; ; .

б) Находим ; ; далее

находим ;

;

в) Имеем

; ;

Теперь находим: ; ; .

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала (первого порядка), т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы функции z порядка выше второго , например: , т.е. дифференциалом третьего порядка от функции z есть дифференциал от её дифференциала второго порядка. Вообще, , . Если , где аргументы х и у –независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символическая формула для дифференциала порядка n : , которая формально раскрывается по биноминальному закону. Если , где аргументы и являются функциями одного или нескольких независимых переменных, то

Если х и у – независимые переменные, то и - величины постоянные, поэтому , . Заметим, что следующая запись означает , выражение следует понимать, как выражение и т.д. Кроме способа вычисления дифференциалов функции по формулам, есть другой способ нахождения дифференциалов высших порядков, который даёт возможность определить их, минуя вычисление частных производных; далее по известному выражению дифференциала мы сможем находить и частные производные. Этот способ состоит в последовательном дифференцировании. Рассмотрим следующий пример.