Бесконечно малых к вычислению

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пределов

Пусть и - бесконечно малые функции, при , т.е. и , причем a может быть как числом, так и одним из символов , - .

Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения , . Если же число А=0, то бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с . Если и , то бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка p по сравнению с бесконечно малой функцией . Бесконечно малые функции и называются эквивалентными,если . В этом случае пишут: ~ .

Теорема(о замене бесконечно малых функций им эквивалентными ). Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменяется, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными функциями.

Если при некотором предельном переходе функция есть бесконечно малая, то Sin( )~ , tg( )~ ;

arcsin( )~ , arctg( )~ ; ln(1+ )~ , ln(1+k )~k , ~ , ~ ln a

Первый замечательный предел

Во многих случаях используется первый замечательный предел (х- длина дуг или угол, выраженный в радианах) и предполагается известным, что . Иногда при отыскании предела полезно сделать замену переменнойс тем, чтобы упростить вычисление предела и использовать известные пределы. Если пол знаком предела делается замена переменной, то все величины, находящиеся под знаком, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, надо определить предельное значение новой переменной. Например, при нахождении предела обозначаем t=kx , где при новая переменная , x=t/k.

Тогда

(т.к.cos (0)=1). Полезно помнить, что , где k -постоянная величина. Например, при функция sin(x) и tg(x) эквивалентныебесконечно малые, т.е. sin(x)~tg(x); т.к. .

Пример 1. Найти

Решение. Применим сначала формулу тригонометрии

1-cos(t)=2sin²(t/2). У нас1-cos(kx)=2sin²(kx/2),при ; sin²( )~( )². По теореме “замены эквивалентной” получим

. Заметим, что можно было воспользоваться первым замечательным пределом.

Ответ: k²/2.

Пример 2.Вычислить

Решение.По формуле тригонометрии sin(5(x+π))=sin(5x+5π)=- sin(5x).

Тогда

Поскольку при , sin(5x)~5x, e³^x-1~ 3x

Ответ:-5/3.

Вычисление предела показательно-степенной функции

При нахождении пределов вида =C

Следует иметь ввиду, что:

1) если существуют конечные пределы

и , то C=A^B, т.е.

имеет место формула

Заметим, что предельное значение а может обозначать и число, и один из символов ;

2) если и , то вопрос о нахождении затруднений обычно не вызывает. В том случае полезны иногда формулы:

;

3) если и , т.е. имеем неопределенность вида { }, то полагают , где при и, следовательно,

Проиллюстрируем общий прием вычисления пределов на следующем примере ( раскрытие неопределенности вида { }).

Пример 3.Найти

Решение.Здесь основание степени при , а показатель степени , т.е. имеется неопределенность вида .

Тогда

(Получили в качестве при )

Замечание 1. При вычислении пределов выражений вида , где , при , удобно иногда пользоваться формулой

.

Замечание 2. При вычислении пределов полезно знать, что

а) если существует и положителен , то

; б) ;

в) .

Производная функции и ее

Вычисление

Если х и х₁ – значения аргумента х, а y=f(x) и y=f(x₁) - соответственно значения функции y=f(x) , то называется приращением аргумента х на отрезке [x; х₁], а

(или = ) называется приращением функции на том же отрезке [x; х₁],

(см. рис. 15.1), где ).

Рис.15.1

Отношение называется средней скоростьюизменения функции y=f(x) на отрезке .

Производнойфункции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: = , если этот предел существует.

Геометрический смысл производной: =tg - угловой коэффициент касательной МТ к графику функции y=f(x) в точке х (рис. 15.1).

Физический смысл производной- мгновенная скорость, т.е. скорость изменения функции в данный момент х₀. Таким образом, быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной. Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования.

Если , - функции, имеющие производные, c- постоянная величина, то:

1) (c=const); 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Производная сложной функции.

Таблица производных

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функциисуществует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х: , или , или . Это правило распространяется на из любого конечного числа дифференцируемых функций.

Таблица производных основных

элементарных функций.

Пусть , где . Тогда:

1) ( n - любое число);

2) ; 3) (a>0, ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) 11) ,( );

12) , ( ); 13) ;

14) 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Замечание. Гиперболические функции определены так:

1) - гиперболический синус

2) -гиперболический косинус

3) -гиперболический тангенс

4) -гиперболический котангенс

Для гиперболический функций имеют место формулы, аналогичные фомулам для тригонометрических функций.

Основные формулы:

; ; ; , ; и т.д.

Пример 1. Найти , если =sin³(x/4).

Решение. Это сложная функция промежуточным первым аргументом u= sin(x/4) и t=x/4 . Данную функцию можно представить в виде: y=u³ , где u=sin(t); t=x/4 .

Дифференцируя, получаем:

=== = .

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

Пусть - уравнение плоской кривой, - точка, лежащая на этой кривой, так что .

Уравнение касательной к данной кривой , проходящей через точку касания кривой, имеет вид:

где есть угловой коэффициент касательной к данной кривой, проходящей через точку . Иначе говоря, где , - угол между касательной к кривой , проведенный через точку , и промежуточным направлением оси абсцисс .

Нормалью к кривой в точке называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания. Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .

Пример 2 .Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x³+2x в точке с абсциссой x₀=1.

Решение. Найдем производную данной функции и ее значение при x₀=1, y^/=3x²+2, y^/(x₀)=y^/(1)=3+2=5. Угловой коэффициент касательной . Вычислим значение функции при x₀=1: . Следовательно, -точка касания и уравнение касательной будет y=3+5(x-1), или 5x-y-2=0; а уравнение нормали y=3-(1/5)(x--1), или x+5y-16=0 , где угловой коэффициент нормали k₂=-1/k₁, так как условием перпендикулярности двух прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂ x+b₂ является соотношение:k₁ k ₂ =-1 Ответ: 5x-y-2=0, x+5y-16=0 .

Дифференциал функции.

Применение дифференциала

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения независимой переменной x. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной . Отсюда . Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то дифференциал функции и приращение функции приближенно равны между собой , ибо по определению или , где при . Иными словами, разность между приращением и дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка. Поэтому при , , т.е. приращение функции и ее дифференциал – эквивалентные бесконечно малые. Следовательно, , откуда имеем . Последняя формула часто используется в приближенных вычислениях, т.к. позволяет по известному значению функции и ее производной в точке x найти приближенно значение функции в точке .

Пример 1 . Вычислить приближенно arctg1,02, заменяя приращение функции дифференциалом.

Решение.Формула применительно к данной функции f(x)=arctg x перепишем в виде: , где . У нас ;x=1; . Подставляя эти значения, получим

Пример2.Найти дифференциал dy. y=

Решение.Имеем

Находим

Следовательно, Ответ:

Логарифмическая производная

Логарифмической производнойфункции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

Применение предварительного логарифмирования по основанию e функции иногда упрощает процесс нахождения ее производной. Сначала надо прологарифмировать данную функцию: , затем взять производные от обеих частей равенства: и найти из полученного уравнения. Пусть требуется найти производную от степенно-показательной функции , где и - функции аргумента x . Логарифмируя обе части исходного равенства, получим (по свойству логарифма: ). Дифференцируя последнее равенство по х, имеем Умножая обе части равенства на y и заменяя затем y через u^v, окончательно получаем , или после очевидных преобразований:

Пример 3. Найти . если .

Решение.Логарифмируя, получим: . Дифференцируем обе части получим равенства по х: , или Отсюда или .

Замечание.Во многих случаях оказывается выгодным, прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции. Это так называемый прием логарифмического дифференцирования. К этому приему удобно прибегать при дифференцировании: а) Произведения нескольких функций; б) дроби, числитель и знаменатель которой содержат произведения; в) выражений, содержащих корни из дробей. К нему прибегают всегда при дифференцировании функции вида , т.е. когда и основание степени, и показатель степени есть функции от x .

Дифференцирование функций, заданных

параметрически

Пусть функция y аргумента x задана при помощи параметрических уравнений: , где t параметр, причем каждому значению соответствует только по одному значению x и y . В механике эти уравнения называются уравнениями движения точки, т.е. линия которую описывает на плоскости движущаяся точка. Например, функция, заданная параметрически: . Представляет собой на плоскости прямую, ибо исключив параметр t из этих уравнений, получим y=x/2 . Однако, практически исключение параметра t из уравнений часто задача трудная, порой просто неразрешимая. Если функций и - дифференцируемые и , то производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: . Или в других обозначениях .

Вторую производную от y по x находим, дифференцируяпоследнее соотношение

Найти производную от функции, заданной параметрически.Пример 4 .

Решение. Находим и и полученные выражения подставляем в формулу:

,

.

Получаем Ответ: 1/t.

Пример 5 .Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке при t=0, если

Решение.Последовательно находим: x₀=2e⁰=2; y₀=e^-0=1,

, , , , , ,M₀(2,1).

Как известно, если кривая задана в явном виде y=f(x), то уравнения касательной и нормали в точке M₀(x₀,y₀). имеют соответственно вид: , .

где y₀=f(x₀), (y₀)^/=(f(x₀)) ^/. Поэтому, напишем уравнения касательной и нормали к исходной кривой в точке касания M₀(2,1) при t=0 соответственно: y=1-0,5(x-2) , или y=-0,5x+2, или x+2y-4=0 - уравнения касательной; y=1+(1/0,5)(x-2), или

y=2x-3, или 2x-y-3=0 - уравнения нормали.

Производные высших порядков. Формула Лейбница

Производной второго порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной или .

Механический смысл второй производной: если истолковывается как скоростьнекоторого процесса, то характеризует ускорение того же самого процесса.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и других порядков:

= , = ,…

Вообще, производной n-го порядка, или n-ой производной от функции называется производная от ее (n-1)-го порядка.

= . На практике, иногда удается найти закон, для n-ой производной. При нахождении производной n-го порядка от произведения двух функций u(x) и v(x) можно применять формулу Лейбница:

.где биноминальные коэффициенты , , причем ; и т.д.

Пример 6.Найти для функции y=x⁶e³^x.

Решение. Применяем формулу Лейбница, полагая u=x⁶, v=e³^x, для случая n=5:

Находим пять производных от каждого из сомножителей :

u ^/=6x⁵, u ^//=30x⁴, u ⁽³⁾=120x³, u⁽⁴⁾=360x², u⁽⁵⁾=720x,

v ^/=3e^3x, v ^//=9e^3x, v ⁽³⁾=3³e^3x, v ⁽⁴⁾=3⁴e^3x v ⁽⁵⁾=3⁵e^3x..

Подставляя эти производные в формулу Лейбница, получаем

Правило Лопиталя

При раскрытие неопределенностей вида и можно

применять правило Лопиталя. Используя теоремы о дифференцируемых функциях (теорему Коши) можно пределы вычислять так: , производные вычисляются до тех пор, пока не исчезнет неопределенность.

Пример 1. Найти предел

\Решение.

Пример 2.Найти предел

Решение.Это – неопределенность вида . Положим и прологарифмируем:

Таким образом

Замечание. Теоремы о дифференцируемых функциях Ролля, Лагранжа, Коши студентам надо разобрать самостоятнльно.

Возрастание и убывание, локальный экстремум функции

Функция называется возрастающей на некотором интервале (рис.16.1), если для любых значений и из этого интервала из неравенства следует неравенство . Если же из неравенства следует нестрогое неравенство , то функция называется неубывающейна этом интервале.

Рис. 16.1

Функция называется убывающей(рис.16.2) на некотором интервале, если для любых х₁и х₂ из этого интервала и неравенства следует неравенство . Если же из неравенства следует нестрогое неравенство , то функция называется невозрастающей на этом интервале.

Рис. 16.2

Все выше названные функции называются монотонными.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и ее производная ( ) при , то функция возрастает(убывает) на этом отрезке [a,b]. Говорят, что функция имеет в точке х₁ максимум(рис.16.3), если значение функции в этой точке больше всех других ее значений во всех точках х, достаточно близкихк точке х₁ и отличных от нее, т.е. если для всякой точки из некоторой окрестности точки х₁. Говорят, что функция имеет в точке х₂ минимум(рис.16.3), если значение функции в этой точке меньше всех других ее значений во всех точках х, достаточно близкихк точке х₁ и отличных от нее, т.е. если для всякой точки из некоторой окрестности точки x₂.

Рис. 16.3

Максимум или минимум функции называется экстремумомфункции. Точки в которых достигается экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).

Необходимое условие существования экстремума:

или не существуетдля , т.е.

функция может иметь экстремум только в тех точках области определения, где выполняются эти условия. Такие точки называютсякритическими точками1-го рода, т.е. точки, только подозрительные на экстремум.

Достаточные условия существования и отсутствия экстремума непрерывной функции :

Первое правило. Если производная меняет знак при переходе через критическую точку x₀ , то точка x₀является точкой экстремума, причем:

а) Функция имеет максимум в точкеx₀ ,если для , где , имеет место

б) Функция имеет минимум в точкеx₀ ,если для из -окрестности имеет место

Если при переходе через критическую точку x₀ производная не меняет знак, то экстремум нет в этой точке:

или

Второе правило. Если в критической точке x₀ первая производная , а вторая производная , то точка x₀ будет точкой экстремума, причем:

а) если , то x₀ - точка максимума;

б) если , то x₀- точка минимума.

Замечание.В более общем случае, когда первая из не равных нулю в точке x₀ производных функции имеет порядок k: Если , то если k -четное, то точка x₀ является точкой максимума при и точкой минимума при ; если же k -нечетное, то точка x₀ является точкой экстремума.

Пример 7.

Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Решение.

1) , т.е. .

2) Функция общего вида, т. к.

3) Находим точки пересечения графика функции к осям координат: а) с осью oy , x=0 : .

точка , т.е. y(0) -0,5. б) с осью ox, y=0:

Дата: 2016-10-02, просмотров: 246.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒