И собственые векторы матрицы

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пусть Rⁿ - заданное n-мерное линейное пространство.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (преобразования) ,заданного матрицей А , если найдется такое число , что выполняется равенство ^.Само число называют собственным (или характеристическим) числом оператора А, соответствующим собственному вектору . Собственные (значения) матрицы А являются корнями характеристического уравнения det (A- E)=0, являющегося алгебраическим уравнением n-ой степени. Если

,, то характеристическое уравнение в координатной форме имеет вид:

=0 (***)

Для нахождения ненулевого собственного вектора

= , отвечающему собственному числу ,

m=1,2,…n надо решить линейную однородную систему (ЛОС) уравнений:

Эта ЛОС уравнений имеет бесконечно много решений. Поэтому, собственному значению соответствует семейство собственных векторов. Выбирают любой из них.

Если характеристическое уравнение (***) имеет n различных корней, то соответствующие им собственные векторы … - линейно независимые и образуют базис. Если среди корней характеристического уравнения (*) имеются кратные, т.е. равные корни, например, - корень кратности к, то хорошо найти к линейно независимых собственных векторов … , отвечающих собственному значению, кратности к; их число m=n-r , где n-порядок матрицы(A- E), r=Rang (A- E); .

Пример.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Дано: .

Решение. Решаем характеристическое уравнение

или , .

Откуда -собственные значения матрицы А.

Для простого корня находим собственный вектор = , решая ЛОС уравнений

коэффициенты этой системы равны элементам определителя det (A- E)=0, при : .

Решим методом Гаусса: , получим или , где -свободная переменная , полагая , получаем, = -семейство собственных векторов, отвечающих собственному значению . Например, = . Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. Подставляя в левую часть характеристического уравнения, получаем матрицу . Ее порядок n=3, ранг r=1 (наивысший порядок миноров, не равных нулю). Число линейно независимых собственных векторов равно m=n-r=2 совпадает с кратностью корня к=2. Найдем их. Имеем или .Полагая где -любые константы, одновременно не обращающееся в ноль, получим = - семейство собственных векторов для . Пусть . Тогда = . Пусть . Тогда = . Два линейно независимых собственных вектора и , соответствующих собственному числу .

Ответ: , – собственные значения матрицы A, , ,

Приведение квадратичной формы

К каноническому виду

Квадратичной формой действительных переменных

x₁, x₂,…,x_n называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. Если число переменных n=2 . то квадратичная форма: . Если n=3, то .

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Рассмотрим квадратичную форму трех переменных . Симметрическая матрица

, у которой , (i,j =1,2,3 при ) называется матрицей квадратичной формы . Так как S - симметричная матрица, то корни характеристического уравнения

являются действительными числами и будут собственными значениями матрицы S . Известно, что собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Следовательно, если матрица симметрическая, то можно говорить об ортогональном базисе векторов, составленном из собственных векторов этой матрицы. Если среди корней характеристического уравнения есть корень кратности к, то можно указать к линейно независимых векторов, отвечающих этому собственному значению, согласно следующей теореме.

Теорема. Для того чтобы существовал базис из собственных векторов матрицы оператора А, необходимо и достаточно, чтобы каждому собственному значению соответствовало столько линейно независимых собственных векторов, какова его кратность. Число линейно независимых векторов равно

m=n-r , где n -размерность матрицы, r=Rang S .

И так, каждому оператору в разных базисах соответствуют различные матрицы. Наша цель: найти такой базис, в котором матрица оператора имела бы простейший вид, а именно диагональный. В ортонормированном базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид:

,где на главной диагонали стоят

собственные значения матрицы S , ибо характеристический многочлен линейного оператора (преобразования) не зависит от базиса. Известно, что квадратичную форму можно представить в виде скалярного произведения

= , где

, .

Переходя к новому ортонормированному базису, где матрица перехода B=T^-1ST , старые и новые переменные (координаты) связаны преобразованием , где -вектор в новой системе координат, получим квадратичную форму в новой системе координат, определенной базис из собственных нормированных векторов, в виде

= = ,

не содержащем членов с произведением переменных, , который называется каноническим видом.

Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид:

, где нормированные собственные векторы матрицы S: , , принято говорить, что квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Вывод. Чтобы привести каноническую форму к каноническому виду надо:

1) По коэффициентам квадратичной формы составить симметрическую матрицу S;

2) Найти собственные значения и собственные векторы матрицы S, причем собственные векторы пронормировать;

3) Записать квадратичную форму в каноническом виде

= .

Векторы и действия над ними

Вектор – это направленный отрезок, т.е. имеющий длину и направление. Длина вектора называется модулем и обозначается или . Векторы , - коллинеарны ( // ) , если параллельны одной и той же прямой или лежат на одной прямой.

Векторы , , – компланарны, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в одной и той же плоскости.

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными вектором с положительным направлением координатных осей OX , OY , OZ соответственно.

Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам: , , , где , если известны его координаты . Заметим, что направляющие косинусы являются координатами любого единичного вектора, т.е.

, если

Основные действия над векторами.

Пусть даны и .

Тогда:

1. =

2. , где -действительное число.

3. Скалярное произведение двух векторов и есть число, по определению равное ,где -угол между двумя векторами и вычисляется по формуле: .

4. Векторное произведение двух векторов и - есть вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) вектор направлен так, что векторы , и образуют правую тройку;

2) вектор ортогонален вектора и , т.е. , .

3) модуль , де - угол между двумя векторами и . Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. .

Тогда .

5. Смешанное произведение трех векторов , и есть число равное по определению: .

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллепипеда, построенного на этих векторах, т.е. . Заметим, что объем тетраэдра, построенного на трех векторах , и равен , где S_осн. – площадь основания тетраэдра, h –высота тетраэдра, т.к. основание тетраэдра есть треугольник, построенный на векторах и , то S_осн=(1/2) S_{параллелограмма}, следовательно,

Если заданы векторы в координатах , и , то

смешанное произведение.

1) Условие перпендикулярности векторов ( ):

или .

2) Условие коллинеарности векторов ( // ):

или = = .

3) Условие компланарности векторов , , : или

Пример.Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А₁, А₂, А₃, А₄ и его высоту, опущенную из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃(рис.2).

Дано: А₁(-1;2;-3), А₂(4;-1;0), А₃(2;1;-2); А₄(3;4;5).

Требуется найти объем тетраэдра.

Решение. а) Объем тетраэдра равен 1/6 части объема

параллелепипеда, построенного на векторах

, , . Объем соответствующего параллелепипеда вычисляется через смешанное произведение векторов, совпадающих с ребрами тетраэдра, сходящимися в вершине А₁(рис.7.1):

Рис. 7.1

Найдем координаты векторов и их смешанное произведение: , ,

Откуда (куб. ед.)

б) Искомую высоту h найдем из формулы: h , где S_{основания} равна площади треугольника А₁ А₂ А₃.

Площадь треугольника А₁ А₂ А₃ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах ,

Поэтому находим векторное произведение

Следовательно, S_{основания= =} =

= =2 (кв.ед.)

Таким образом

h=3V_{тетраэдра}/S_{основания}=3^.5/(2 )=15 /4

Ответ:V_{тетраэдра}=5 (куб. ед.), h=15 /4(ед. длины)

8. Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость в пространстве.

1) Уравнение плоскости – это уравнение первой степени вида: Ax+By+Cz+D = 0, если А²+В²+С² 0, которое называется общим уравнением. Коэффициенты А, В ,С можно рассматривать, как координаты вектора нормали =(A,B,C), перпендикулярного плоскости.

2) Уравнение плоскости, проходящей через точку

M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору :

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, (условие , где

=(x-x₀ , y-y₀, z-z₀) лежит в плоскости).

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(x₁,y_1,z₁), M₂(x₂,y₂ ,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃) имеет вид:

-условие компланарности векторов , где , , , где M(x,y_,z)- текущая точка данной плоскости.

4) Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

, где а,b,с – отрезки, отсекаемые плоскостью, на координатных осях соответственно, - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями ox, oy, и oz.

5) Нормальное уравнение плоскости:

, где - вектор- нормаль к плоскости единичной длины, проведены из начала координат, p – расстояние от начала координат до плоскости (p>0).

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному уравнению плоскости. Для этого умножим обе части общего уравнения плоскости на нормирующей множитель:

- полученное уравнение и будет нормальным уравнением плоскости. (Знак берется противоположным знаку D)

Расстояние от данной точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости находится по формуле

где A,B,C-коэффициенты в общем уравнении плоскости,

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле:

где под углом между двумя плоскостями понимается угол между их нормалями и .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 (если ).

Условие параллельности двух плоскостей:

(если // ).

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой имеют вид

, где =(m,n,p) – направляющий вектор прямой, точка M(x₀,₀y.z₀) лежит на прямой, т.е. прямая проходит через точку M₀ параллельно вектору .

Уравнение прямой в параметрической форме:

Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z_{2 )} имеет вид: .

Угол между двумя прямыми вычисляются по формуле

где угол между двумя прямыми- угол между их направляющими векторами данных прямых.

Условие перпендикулярности двух прямых:

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0 (если ).

Условие параллельности двух прямых:

(если // ).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть заданы прямая и плоскость :

: Ax+By+Cz+D = 0,

Угол между прямой и плоскостью определяются по

формуле

где -угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: (если // ). Условие параллельности двух прямых: A m+Bn+Cp=0 (если ). Напомним, что =(m,n,p ) – направляющий вектор прямой , =(A,B,C) – нормаль к плоскости.

Пример. Найти расстояние d от точки M₀ до плоскости, проходящей через три точки M₁,M₂,M₃.

Дано: M₁(1;0;2);M₂(1;2;-1);M₃(2;-2;1);M₀(-5;-9;1).

Требуется найти: d (см. рис.8.1)

Рис.8.1

Решение. Находим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁, M₂, M₃, по формуле

Разложив определитель по первой строке и, приводя подобные члены, имеем уравнение плоскости: 8x+3y+2z-12=0

Расстояние d от данной точки M₀ (x₀,y₀,z₀) до плоскости, определяемой уравнением Ax+By+Cz+D=0, находится по формуле

(ед. длины).

Кривые второго порядка

На плоскости

1.Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если R – радиус окружности, точки M₀ (x₀,y₀) - ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид : (x-x₀)²+(y-y₀)²=R² .

2. Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная больше расстояния между фокусами (рис.9.1).

Пусть – любая точка эллипса, – фокусы. Тогда по определению имеем , где называются фокальными радиусами, и, следовательно, .

Рис. 9.1

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом , (так как с < а, то e < 1 для эллипса). Каноническое уравнение эллипса : , причем . Здесь a – большая, – малая полуоси эллипса. Если а = (с = 0, e = 0, фокусы сливаются в одной точке – центре), то эллипс превращается в окружность . Фокальные радиусы эллипса: (правый фокальный радиус) и (левый фокальный радиус).

3.Гипербола – это множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (рис.9.2). Пусть – любая точка гиперболы, – фокусы. Тогда по определению имеем

Рис. 9.2

где называются фокальными радиусами, причем для правой ветви гиперболы, – правый фокальный радиус; – левый фокальный радиус, где число называется эксцентриситетом гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где

а²+ в²= с². Здесь а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы; из уравнения видно, что гипербола не пересекает ось OY, т.е. . Для построения гиперболы строят прямоугольник со сторонами 2а и 2b, с центром в начале координат. Проводят диагонали в прямоугольнике, которые являются асимптотами . Вершины гиперболы находятся в точках .

Замечание.Если уравнение гиперболы имеет вид : , то вершины гиперболы находятся на оси OY в точках . Гиперболы называются сопряженными (у них действительная ось одной гиперболы служит мнимой осью другой, и наоборот; они имеют общие асимптоты). Если а= b, то уравнение принимает вид х²– у²= а². Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты перпендикулярны друг к другу. Поэтому, если за координатные оси принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнение примет вид: (рис. 9.3,а и рис. 9.3,б), или .

Рис. 9.3

4. Парабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой (рис.9.4). Пусть прямая l: x=-p/2 является директрисой параболы, точка F(p/2,0) – фокус. Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: ,

где – фокальный параметр.

Рис. 9.4

Эта парабола расположена симметрично относительно оси ОХ ( ), – фокальный радиус параболы, который определяется по формуле , так как . Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат ОУ. При р > 0 ветви параболы направлены в положительную сторону соответствующей координатной оси, а при р < 0 – в отрицательную сторону.