Зависимость (взаимосвязь) между случайными событиями состоит в том, что появление одного из событий изменяет вероятность появления другого события.

Факт взаимосвязи между случайными событиями состоит в совместном изменении меры возможностей их появления (частоты, частости, вероятности). По наличию или отсутствию такого изменения и судят о наличии или отсутствии зависимости между событиями. Это изменение устанавливается на основе анализа двумерного вариационного ряда или таблицы сопряженности.

Например, у некоторой группы людей измерялись два признака. Признак x_i, который может принимать одно из четырех значений, и признак y_j, который может принимать одно из трех значений. В этом случае таблица сопряженности будет выглядеть следующим образом:

                                                                                        Таблица 12

В этой таблице внутри прямоугольника, выделенного жирной чертой, находятся частоты f_ij, которые отражают число людей в выборке, имеющих какое-то значение x_i при условии, что y = y_j . Эти частоты называются условными частотами.

Сумма частот по столбикам обозначена как f_{i -} — это безусловные частоты признака x_i. Они показывают, сколько человек в выборке имеют значение x_i безотносительно к значениям признака у.

Сумма частот по столбикам обозначена как f _{- j} — это безусловные частоты признака у_i. Они показывают, сколько человек в выборке имеют значение у_i безотносительно к значениям признака х.

На основании таких таблиц сопряженности рассчитываются многие меры связи.

Взаимосвязи между признаками характеризуются силой связи и ее направлением. О силе взаимосвязи свидетельствует абсолютное значение расчетной меры связи: чем она больше, тем сильнее взаимосвязь. О направлении взаимосвязи мы судим по знаку расчетной меры связи[5]: положительный знак — взаимосвязь прямая или положительная, отрицательный знак — взаимосвязь обратная или отрицательная.

Проиллюстрировать направление взаимосвязей можно при помощи следующего рисунка.

Рис. 17. Диаграммы рассеивания первичных данных для случаев различных взаимосвязей между ними

Предположим, у некоторой группы испытуемых измерены два признака — X (ось абсцисс) и Y (ось ординат). Каждый испытуемый на такой двумерной плоскости займет строго определенное место в зависимости от сочетания значений признаков X и Y у данного человека.

На графике слева показана диаграмма рассеивания для случая положительной зависимости между признаками (рост значений одного признака сочетается с ростом значений другого признака).

Средний график иллюстрирует отрицательную зависимость: рост значений одного признака сочетается с уменьшением значений другого признака.

График справа — отсутствие зависимости: четкой закономерности сочетания значений признаков не прослеживается, встречаются любые варианты.

Взаимосвязи характеризуются двумя свойствами: силой и направлением. О силе взаимосвязи мы судим по абсолютной величине данной меры: чем она больше, тем сильнее взаимосвязь. На направление зависимости (прямая или обратная взаимосвязь) нам указывает знак данной меры: положительный знак свидетельствует о прямой зависимости, отрицательный знак — об обратной.

Для принятия решения о наличии или отсутствии взаимозависимости между признаками в корреляционном анализе существует правило вывода: Расчетное значение по абсолютной величине сравнивается с табличным значением. Если оно больше или равно критическому (табличному) значению, то делается вывод о наличии взаимозависимости (или взаимосвязь между признаками статистически значима, или взаимосвязь между признаками статистически достоверна). При этом обязательно указывается уровень значимости вывода: при р=0,95 или a =0,05 (более слабая взаимосвязь) или р=0,99 или a=0,01 (более сильная взаимосвязь).

Для облегчения задачи выбора меры связи, адекватной данному случаю, целесообразно воспользоваться таблицей 13. В этой таблице меры связи приведены в соответствие тем измерительным шкалам, по которым измерены признаки, между которыми необходимо найти взаимосвязь.

Таблица 13

Общий обзор мер связи

Коэффициент контингенции

Если оба признака измерены по шкале наименований и каждый из них может иметь только два значения, то мерой связи является коэффициент контингенции «фи» — φ. В некоторых книгах по статистике этот коэффициент называется четырехклеточный коэффициент или четырехпольный коэффициент, или тетрахорический показатель связи.

Удобнее всего этот коэффициент рассчитывать по 4-хпольной таблице сопряженности признаков (таблица 14) — таблице, показывающей частоту совместного появления у испытуемых пар значений по 2-м признакам.

Таблица 14

       Расчетное значение коэффициента контингенции вычисляется по следующей формуле:

Поскольку таблиц с критическими значениями для данного коэффициента не существует, то значимость этой меры связи оценивают при помощи критерия χ².

Правило принятия решения:

Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы (приложение с таблицами критических значений). Однако, для 4-хпольной таблицы число степеней свободы всегда равно 1 (ν = 1), поэтому можно привести эти значения, которыми всегда следует пользоваться для 4-хклеточных таблиц: χ²_табл. = 3,84 для р = 0,95 и = 6,64 для р = 0,99.

Если χ²_расч ≥ χ²_табл , то связь между признаками статистически значима, т. е. признаки изменяются согласованно. О направлении зависимости свидетельствует знак коэффициента взаимной сопряженности φ.

Если χ²_расч < χ²_табл , то связи между признаками нет.