В реальном исследовании мы, как правило, имеем дело не с двумя признаками, а с множеством их. Результатом корреляционного анализа является матрица, в которой записаны коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязи каждого признака с каждым. Удобнее такую матрицу представить в виде квадратной таблицы (таблица 22), в которой число строк и столбцов одинаково и равно числу переменных (признаков) m+1. Например, пусть m=10.

                                                                                                                               Таблица 22

       Поскольку эта матрица является симметричной относительно диагонали, выделенной жирным шрифтом, то обычно анализируется половина такой матрицы, расположенная ниже или выше выделенной диагонали (по этой диагонали находятся коэффициенты корреляции признака с самим собой: они равны 1,00) — табл. 23.

                                                                                     Таблица 23

       Далее в подобной матрице необходимо выделить те коэффициенты корреляции, которые по абсолютному значению равны или больше критического значения (табличного). И только эти коэффициенты подлежат содержательному анализу.

       Для удобства такого анализа могут быть построены корреляционные плеяды.

       Корреляционная плеяда представляет собой граф, являющийся одной из простейших математических моделей взаимодействующих систем, представляющий собой систему точек (вершин), некоторые из которых соединены отрезками (рёбрами). В данном случае вершинами являются признаки, а ребра отражают взаимосвязи между ними. Например, на рис. 18 изображена корреляционная плеяда, полученная в одном из дипломных исследований.

Рис.18. Корреляционная плеяда взаимосвязей признаков 9а класса

Примечание к рисунку 18: сплошной линией обозначены положительные, пунктирной линией — отрицательные корреляционные зависимости.

       Таким образом, корреляционная плеяда[6] (ρF-группа[7]) — это ориентированный граф, вершинами которого служат психологические переменные, рёбрами – парные корреляции между ними, а ориентация любой пары вершин задаётся знаком, весом и направлением корреляции между ними.

Если корреляционную плеяду построить по методу выделения максимальных взаимосвязей между признаками (методу максимального корреляционного пути), то она является, как это было показано Б. Докторовым[8], графическим аналогом центроидного метода в классическом факторном анализе, основанным на применении теории графов к анализу корреляционной матрицы.

Алгоритм построения корреляционной плеяды[9]

(методом максимального корреляционного пути)

1. Исходный материал — половина квадратной корреляционной матрицы, в которой записаны только статистически значимые коэффициенты корреляции.

2. Найти в столбце 1 максимальный по модулю коэффициент корреляции и обвести его кружком. При наличии нескольких максимумов обвести все.

3. Найти в каждом последующем признаке (по строке–столбцу) максимальный по модулю коэффициент корреляции и обвести его кружком. Если максимум уже был выбран ранее, новый выбор не производить и перейти к следующему столбцу. При наличии коэффициентов корреляции, совпадающих с ранее выделенным максимумом, обвести их все. Для последнего признака все коэффициенты корреляции располагаются в последней строке матрицы.

4. На чистом листе бумаги изобразить полученное множество взаимосвязей в виде графа (графов).

5. Проверить полученные графы на соответствие критериям 1 и 2.                                                                                              

Критерий 1 — связаны должны быть все признаки, вошедшие в корреляционную матрицу.

Критерий 2 — число связей должно быть на единицу меньше числа признаков.

Признаки несоответствия указанным критериям:

a) наличие кольцевых графов;

b) наличие разрывов между графами (на листе — больше одного графа).

5а — если полученный граф удовлетворяет обоим критериям:

Перерисовать его набело, придав ему хорошую форму и ориентировав его. Этот граф и является корреляционной плеядой.

Полезный совет: ориентацию графа задать цветом и числом линий, обозначающих связь (число линий отражает силу взаимосвязи или уровень значимости).

5б — если полученный граф имеет кольцевые графы:

 Для устранения кольцевых графов исключить лишний коэффициент корреляции, следуя приведённым ниже правилам:

Правило А. Если все коэффициенты корреляции, входящие в кольцевой граф, находятся на разных уровнях значимости (имеют разную величину), исключается наименьший коэффициент корреляции, т. е. отбрасывается самая слабая связь.

Правило В. Если наименьших коэффициентов корреляции, входящих в кольцевой граф, несколько, то исключение лишнего коэффициента корреляции производится из содержательных соображений.

Примечания к пункту 5б: 1. При исключении коэффициента корреляции из графа не забыть зачеркнуть его и в корреляционной матрице.

   2. Повторить указанные операции на всех кольцевых графах.

5в — если полученный граф имеет отдельные субплеяды (т.е. состоит из нескольких отдельных плеяд):

 Следует восстановить недостающие связи, следуя приведённым ниже правилам:

Правило С. Выбрать граф (субплеяду) меньшей мощности (а из равномощных — произвольно).

       Правило D . Последовательно перебирая входящие в этот граф коэффициенты корреляции, выбрать из них те, которые в корреляционной матрице не были отмечены ранее; среди них найти максимальный по модулю коэффициент (при наличии нескольких максимумов выбрать все) и присоединить "оторвавшуюся" субплеяду к общему графу.

Примечания к пункту. 5в: 1. При включении новых коэффициентов корреляции в граф не забыть обвести их кружком и в корреляционной матрице.

2. Повторить операции C, D для всех отщепившихся графов.

6. Исключение лишних и включение недостающих коэффициентов корреляции по правилам, описанным в пп. 5б и 5в, гарантирует автоматическое соответствие итогового графа критериям 1 и 2.

7. Перейти к п. 5а.

Контрольные вопросы:

Контрольные вопросы:

1. Что такое стохастическая зависимость?

2. Какими свойствами обладают связи между признаками?

3. Приведите общее правило вывода при оценке взаимозависимостей между признаками.

4. Какая мера связи пригодна для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале наименований?

5. Какие меры связи пригодны для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале наименований и шкале порядка?

6. Какие меры связи пригодны для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале наименований и какой-либо количественной шкале (интервальной или пропорциональной)?

7. Какая мера связи пригодна для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале порядка?

8. Какая мера связи пригодна для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале порядка и какой-либо количественной шкале (интервальной или пропорциональной)?

9. Какая мера связи пригодна для оценки зависимостей между признаками, измеренными по шкале какой-либо количественной шкале (интервальной или пропорциональной)?

10. В каком случае более адекватной мерой является корреляционное отношение и для каких шкал оно применяется?

11. Что такое корреляционная плеяда?

12. Как находится максимальный корреляционный путь в корреляционной матрице?

13. Как добавляются недостающие взаимосвязи в пледу?

14. Как размыкаются взаимосвязи, образующие «кольцо»?

15. Что является показателем того, что построена полная плеяда?

Самостоятельное практическое задание:

Решите примеры.

1. Проранжируйте 50 оценок рефлексивности испытуемых: 134 125 126 124 126 121 109 125 143 106 134 103 128 131 141 127 125 103 117 107 133 111 127 122 147 125 140 137 118 114 120 121 122 121 111 135 129 116 124 120 93 100 117 129 112 111 116 120 102 139

2. На основе приведенных данных (таблица 24) определить, влияет ли на отчисление студентов из ВУЗа их семейное положение.

Х — семейное положение: 0 — неженат, незамужем; 1 — женат, замужем.

У — «пребывание» в ВУЗе: 0 — исключен, 1 — учится.

           Таблица 24

3. Установить, существует ли взаимосвязь между полом и вербальными способностями (или иначе есть ли гендерные различия в развитии вербальных способностей). В таблице 25  с первичными данными: пол обозначен следующим образом: 1 — юноши, 2 — девушки; оценки вербальных способностей — сумма первичных баллов по методике.

                                                        Таблица 25

4. Рассчитайте поправки для различных случаев связанных рангов: а=2; а=3; а=4; а=5 и а=6.

5. Определите, существует ли сходство в выраженности акцентуируемых черт личности матери и 8-летнего сына. Выраженность черт оценивалась с помощью методики Шмишека, в таблице 26 представлены «сырые» оценки (первичные баллы) по методике.

                                         Таблица 26

Материалы для изучения:

а) основная литература:

1. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов. — М., 2008. — Стр. 202-254.

2. Кутейников А.Н. Математические методы в психологии. – СПб, 2008. — Стр. 53-80.

3. Наследов А. Д. Математические методы психологического исследования: Анализ и интерпретация данных. — СПб., 2007. — Стр. 147-161.

4. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб.,2004. — Стр. 200-223.

б) дополнительная литература:

1. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. — М., 1976. — Стр. 103-122.

2. Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов. — СПб., 1998. — Стр. 162-219.