Дисперсия (Variance) — 
— это средний квадрат отклонений всех значений признака от среднего арифметического. Имеет размерность значения признака в квадрате. Находится по следующим формулам:
А) при небольшом количестве испытуемых
, где
D — дисперсия
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
i — номер испытуемого в выборке
N — число испытуемых или объем выборки
Б) для простого вариационного ряда (для каждого значения признака указана частота его появления в данной выборке)
, где
D — дисперсия
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
m — число значений признака, встретившихся в данной выборке
i — номер значения признака по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того значения признака x
N — число испытуемых или объем выборки
В) для сгруппированного распределения находится приближенное значение дисперсии по следующей формуле
, где
D — дисперсия
xср i — среднее значение каждого i-того интервала
— среднее арифметическое
k — число интервалов в сгруппированном ряду
i — номер интервала по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того интервала
N — число испытуемых или объем выборки
Алгоритм вычисления дисперсии в сгруппированном распределении:
1. Для каждого интервала вычисляем его центральное отклонение по формуле x ср i – 
2. Каждое центральное отклонение возводится в квадрат: (x ср i – )2
3. Находим произведение квадрата центрального отклонения каждого интервала и абсолютной частоты этого интервала (x ср i – 
)2· fi
4. Находим сумму этих произведений ∑(x ср i – )2· fi
5. Вычисляем среднее арифметическое значение как частное от деления ∑(x ср i – 
)2· fi на N.
6. Находим дисперсию как частное отделения этой суммы на (N–1).
Для расчетов удобно выполнять каждое действие в отдельном столбце следующей таблицы:
Таблица 8
| № п/п | Xi (начало и конец интервалов) | fi | Fi | X ср i |
|
|
|
|
| 8 | ||||||||
| 7 | ||||||||
| 6 | ||||||||
| 5 | ||||||||
| 4 | ||||||||
| 3 | ||||||||
| 2 | ||||||||
| 1 | ||||||||
| S=N | S=…… | S=……… |
Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) (Std. deviation) — 
— это среднее отклонение каждого значения признака от среднего арифметического. Имеет ту же размерность, что и сам признак. Находится по формуле: 
, где D — дисперсия
Или, если в эту формулу подставить формулу дисперсии, то по следующим формулам:
А) при небольшом количестве испытуемых
, где
s — стандартное отклонение
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
i — номер испытуемого в выборке
N — число испытуемых или объем выборки
Б) для простого вариационного ряда (для каждого значения признака указана частота его появления в данной выборке)
, где
s — стандартное отклонение
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
m — число значений признака, встретившихся в данной выборке
i — номер значения признака по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того значения признака x
N — число испытуемых или объем выборки
В) для сгруппированного распределения находится приближенное значение дисперсии по следующей формуле
, где
s — стандартное отклонение
xср i — среднее значение каждого i-того интервала
— среднее арифметическое
k — число интервалов в сгруппированном ряду
i — номер интервала по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того интервала
N — число испытуемых или объем выборки
Коэффициент асимметрии (Skewness) — As — параметр, характеризующий асимметричность распределения по сравнению с нормальным распределением. У симметричного распределения As=0.
При левосторонней асимметрии график сдвигается ближе к оси ординат, т. е. чаще встречаются более низкие значения признака. Коэффициент асимметрии в этом случае бывает положительным.
При правосторонней асимметрии график отодвигается от оси ординат, т. е. чаще встречаются более высокие значения признака. Коэффициент асимметрии в этом случае меньше нуля, отрицательный.
|
|
Рис.12. Распределения частот с разными значениями асимметрии
Коэффициент асимметрии находится по следующей формуле:
, где
As— коэффициент асимметрии
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
N — число испытуемых или объем выборки
s — стандартное отклонение
Коэффициент эксцесса (Kurtosis) — Ex — параметр, характеризующий выпуклость распределения по сравнению с нормальным распределением. В распределениях с нормальной выпуклостью Ex=0.
В тех случаях, когда в выборке встречается много средних или близких к средним значений, распределение имеет вид островершинной кривой. Коэффициент эксцесса в этом случае положительный, т. е. больше нуля.
Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение имеет вид низкой, плосковершинной кривой, или иногда низкой кривой с двумя вершинами. Коэффициент эксцесса — отрицательный.
Рис.13. Распределения частот с разными значениями эксцесса
Коэффициент эксцесса находится по следующей формуле
, где
Ex— коэффициент эксцесса
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
N — число испытуемых или объем выборки
s — стандартное отклонение
Коэффициент вариации или коэффициент вариативности — V — параметр, показывающий соотношение стандартного отклонения и среднего арифметического. Применяется для сравнения изменчивости распределений признаков, имеющих разную размерность, то есть сам коэффициент вариации является безразмерной мерой рассеивания.
Находится по формуле:
, где
V — коэффициент вариации
s — стандартное отклонение
— среднее арифметическое
Коэффициент вариации позволяет сравнивать изменчивость признаков, измеренных по разным шкалам, а также оценивать однородность выборки (для однородных выборок он должен быть не более 30%).
Рассмотрим пример расчета параметров для сгруппированного распределения.
Таблица 9
| № п/п | Xi (начало и конец интервалов) | fi | Fi | X ср i |
|
|
|
|
| 8 | 104—112 | 5 | 38 | 108 | 108×5=540 | 108–80,5=27,5 | 27,52=756,25 | 756,25×5=3781,25 |
| 7 | 95—103 | 5 | 33 | 99 | 99×5=495 | 99–80,5=18,5 | 18,52=342,25 | 342,25×5=1711,25 |
| 6 | 86—94 | 4 | 28 | 90 | 90×4=360 | 90-80,5=9,5 | 9,52=90,25 | 90,25×4=361,00 |
| 5 | 77—85 | 7 | 24 | 81 | 81×7=567 | 81–80,5=0,5 | 0,52=0,25 | 0,25×7=1,75 |
| 4 | 68—76 | 9 | 17 | 72 | 72×9=648 | 72–80,5= –8,5 | (–8,5) 2=72,25 | 72,25×9=650,25 |
| 3 | 59—67 | 4 | 8 | 63 | 63×4=252 | 63–80,5= –17,5 | (–17,5) 2=306,25 | 306,25×4=1225,00 |
| 2 | 50—58 | 2 | 4 | 54 | 54×2=108 | 54–80,5= –26,5 | (–26,5) 2=702,25 | 702,25×2=1404,50 |
| 1 | 41—49 | 2 | 2 | 45 | 45×2=90 | 45–80,5= –35,5 | (–35,5)2=1260,25 | 1260,25×2=2520,50 |
| S=38 | S=3060 | S=11655,50 |
= 
=80,5
= 
=17,7
Дата: 2019-11-01, просмотров: 238.
