Анализ электрического и магнитного поля необходим как в специальном приборостроении, так и при проектировании сильноточного высоковольтного оборудования (разрядников, выключателей, элементов линий электропередачи), изоляционных конструкций, кабелей, конденсаторов, а также при исследовании структуры TEM-волн в волноводах. Обычно представляют интерес следующие физические величины: электрический потенциал, напряженность поля, электрическое смещение (индукция), заряд, емкость и сила взаимодействия заряженных объектов.

Постановка задачи электростатики: ELCUT может применяться для анализа линейных электростатических полей в плоской и осесимметричной постановках. Задача формулируется в виде уравнения Пуассона относительно скалярного электрического потенциала . Для плоскопараллельных задач уравнение имеет вид:

,

а для осесимметричных задач:

,

где компоненты тензора электрической проницаемости ,  или , , а также плотность распределенного заряда  - постоянные величины в пределах блоков модели. Для большинства задач свойства среды считаются одинаковыми во всех направлениях.

Свойства сред: изотропные и ортотропные материалы с постоянной диэлектрической проницаемостью.

Источники поля в электростатике: распределенные и точечные заряды, электроды с заданным потенциалом. ELCUT обеспечивает возможность задать электрический заряд в блоках, на рёбрах и в отдельных вершинах модели. Заряд, заданный в конкретной точке плоскости xy, описывает заряженную струну (линейный провод), проходящую через эту точку перпендикулярно к плоскости модели, и задается своей линейной плотностью. В осесимметричном случае заряд вершины описывает заряженный линейный провод в форме кольца, ось которого совмещена с осью z, или точку (точечный заряд) на оси симметрии. Чтобы охватить оба этих случая, точечный источник поля, заданный в вершине, всегда характеризуется полным зарядом. Для заряженного кольца радиуса r полный заряд связан с линейной плотностью соотношением . Линейная плотность заряда на ребре модели соответствует заряженной поверхности в трехмерном пространстве. Такое ребро описывается поверхностной плотностью заряда и задается при помощи граничного условия Неймана для ребра. Плотность заряда, ассоциированного с блоком, соответствует объемному заряду.

Граничные условия в электростатике: На внутренних и внешних границах области допустимы следующие виды граничных условий.

Условие Дирихле задает известное значение электрического потенциала  в вершине или на ребре модели (например, на обкладках конденсатора). Этот вид граничного условия также может применяться на внешней границе области, совпадающей с плоскостью электрической антисимметрии задачи (противоположные по знаку источники в симметричной геометрии). Величина  на ребре модели может быть задана в виде линейной функции координат. Параметры задающей линейной функции могут меняться от ребра к ребру, но должны быть согласованы так, чтобы функция  была непрерывна в точках соприкосновения границ.

Замечание. Для того чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задание условия Дирихле хотя бы в одной точке расчетной области, а если область представляет собой набор физически не связанных подобластей - хотя бы в одной точке каждой такой подобласти. Это условие позволяет однозначно определить начальную точку отсчета потенциальной функции.

Условие Неймана – заданные значения нормальной составляющей поля, определяются следующими соотношениями:

    -     на внешней границе,

       - на внутренней границе,

где  нормальная компонента электрического смещения, индексы "+" и "-" означают "слева от границы" и "справа от границы" соответственно,  - поверхностная плотность заряда (см. также раздел 6.1.1 формулы 6.1.6 – 6.1.8).

      Если  принимает нулевое значение, граничное условие называется однородным, что означает отсутствие нормальной компоненты напряженности электрического поля. Этот вид граничного условия часто используется на внешней границе области, являющейся следом плоскости симметрии задачи. Однородное условие Неймана является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех рёбрах внешней границы, где явно не указано иное граничное условие.

При задании неоднородного условия Неймана на внешней границе, являющейся следом плоскости симметрии, истинную величину плотности заряда следует разделить пополам.

Граничное условие равного потенциала используется для описания изолированных проводников, помещенных в электрическое поле, которые имеют постоянный, но заранее неизвестный потенциал.

Замечание. Ребро, на котором задано условие равного потенциала, не должно соприкасаться с рёбрами или вершинами, на которых задано условие Дирихле. В этом случае ребро с постоянным потенциалом следует описать при помощи условия Дирихле с подходящим значением потенциала.

Вычисляемые физические величины в электростатике: При анализе результатов расчета электрического поля ELCUT позволяет оперировать со следующими локальными и интегральными физическими величинами.

Локальные величины:

· Скалярный электрический потенциал ;

· Вектор напряженности электрического поля ,

 ,      -  в плоском случае,

 ,      - в осесимметричном случае.

· Тензор градиента напряженности электрического поля ,

 ,  ,     - в плоском случае,

   ,  ,     - в осесимметричном случае,

а также его главные компоненты.

· Вектор электрического смещения .

Интегральные величины:

· Суммарный электрический заряд, заключенный в заданном объеме:

,

где интегрирование ведется по поверхности окружающей заданный объем, а n - единичный вектор нормали к поверхности;

· Суммарная электростатическая сила, действующая на тела, заключенные в заданном объеме:

,

· Суммарный момент электростатических сил, действующих на тела, заключенные в заданном объеме:

,

где  - радиус-вектор точки интегрирования. Вектор момента направлен параллельно оси z в плоско-параллельном случае, а в осесимметричном случае момент тождественно равен нулю. Момент рассматривается относительно начала координат. Момент относительно произвольной точки может быть получен прибавлением слагаемого , где  - это полная сила, а  - радиус-вектор точки.

· Энергия электрического поля:

.

В плоскопараллельной постановке интегральные характеристики вычисляются на единицу длины расчетной области в направлении оси z. Область интегрирования задается в плоскости модели замкнутым или разомкнутым контуром, состоящим из отрезков и дуг окружностей.

Специальные возможности: Интегральный калькулятор может вычислять различные интегральные значения на определенных пользователем линиях и поверхностях. В задачу могут быть включены изолированные проводники с заранее неизвестным потенциалом (электростатические экраны). Электростатические силы могут быть переданы в задачу расчета механических напряжений в элементах конструкции (совмещенная электро-упругая задача).

Пример решения задачи электростатики в ELCUT

Запустим файл ElcutStudent.exe из Проводника Windows или любой другой оболочки. Откроется главное окно ELCUT.

Создание новой задачи

1.1. Нажимаем одновременно комбинацию клавиш Ctrl+N или левой кнопкой мыши вызываем меню Файл, из развернувшегося списка меню Файл выбираем команду “Создать”. Появляется окно “Новый документ” (рис. 2.1). По умолчанию выделено “Задача ELCUT” (для выбора другого типа документа ELCUT следует щелкнуть на нем левой кнопкой мыши). Выбираем левой кнопкой мыши пункт “Готово”.

    Рис. 2.1. Окно создания нового документа ELCUT

1.2. Появляется новое окно “Создание задачи”, приглашающее ввести имя и расположение новой задачи. Вводим c клавиатуры в графе “Имя файла задачи” имя новой задачи (например: electro_01). Выбираем левой кнопкой мыши пункт “Обзор” и определяем месторасположение новой задачи, где ELCUT будет сохранять файлы, относящиеся к ней (рис. 2.2). Для продолжения диалога выбираем левой кнопкой мыши пункт “Далее>”.

    Рис. 2.2. Окно ввода имени и месторасположения задачи ELCUT

1.3. Появляется новое окно “Ввод параметров новой задачи”. В графе тип задачи выбираем левой кнопкой мыши - “Электростатическое поле”, класс модели - “Плоская”, расчет – “Обычный”. Имеет смысл принять предложенные системой имена файлов модели и физических свойств (рис. 2.3). Левой кнопкой мыши выбираем “Далее>”.

1.4. Появляется новое окно “Выбор системы координат”. Выбираем левой кнопкой мыши “Единицы длины” – сантиметры, “Система координат” – Декартовы координаты (рис. 2.4). Завершаем диалог - “Готово”.

1.5. Появляется окно с “деревом” (будем пользоваться в дальнейшем этой аббревиатурой) задачи (располагается по умолчанию в левой части главного окна ELCUT) (рис. 2.5). Рекомендуем сразу сохранить созданное описание новой задачи. Для чего нажимаем одновременно комбинацию клавиш Ctrl+S или левой кнопкой мыши вызываем меню Файл, из развернувшегося списка меню Файл выбираем команду “Сохранить все файлы задачи”. Автоматически ELCUT запишет файл с расширением pbm в выбранное согласно пункту 1.3 место на диске или другом носителе.

Рис. 2.3. Окно описания задачи ELCUT

Рис. 2.4. Окно выбора единиц измерения линейных размеров и системы координат задачи ELCUT

Рис. 2.5. Оконный интерфейс с “деревом” новой задачи ELCUT