Дальнейшее развитие логики связано с именами таких выдаю­щихся западноевропейских мыслителей, как Декарт, Лейбниц, Кант, Гегель и др. Так, французский философ и математик Рене Декарт (1569-1650) выступил с крити­кой средневековой схоластики и развил новые идеи дедуктивной логики, сформулировал правила научного исследования, изложенные в сочинении «Правила для руководства ума». В 1662 г. в Париже вышла книга «Логика, или Искусство мыслить», последователей Декарта А.Арно и П.Николем, известная также под названием «Логика Пор-Рояля», которая оказала заметное влияние на пос­ледующую историю развития логики. В ней авторы вышли за пределы традиционной логики, уделили главное внимание методологии научного познания, логике научных открытий. Разработка подобных «расширенных» систем логики стало характерным в XIX – XX вв.     

Крупный вклад в исследование логических проблем внесли не­мецкий философ и ученый Г.Лейбниц (1646-1716), сформулировавший закон достаточного основания, выдвинувший идею математической логики, (которая получила развитие лишь в XIX – XX вв.), немецкий философ И.Кант (1724-1804) и многие другие западноевропейские философы и ученые.

Многие идеи математической логики были изложены в трудах немецкого философа, мате­матика и логика Готфрида Лейбница (1646-1716). Разрабатывая эти идеи, Лейбниц получил значительные резуль­таты, которые были вескими основа­ниями для того, чтобы признать его родоначальником математической логики. Лейбниц написал диссертацию «О комбинаторном ис­кусстве», где изложил свою теорию открытия, и ряд работ по теории доказательства или ана­литике. В основу комбинаторики была положена идея о создании новых понятий на основе известных простых: имея все простые понятия, можно, исходя из этого, получить и все сложные.

Г.Лейбниц стремился к тому, что­бы логика сделала процесс умозаключения не­зависимым от размышления о содержательном смысле предложений, входящих в этот процесс, подобно тому, как процесс математического вычисления не зависит от размышления о со­держательном смысле знаков, применяемых в нем. Лейбниц выразил надежду на существова­ние всеобщего метода решения познавательных задач. Грандиозная идея открытия такого метода оказалась все же несостоя­тельной, однако это стало ясно значительно позже, лишь в 30-е гг. XX столетия.

Г.Лейбниц не раз предпринимал по­пытки построения логических исчислений, но они не достигли совершенства позднейших алгебр логики. Но значение идей Лейбница оказалось огромным. Они были предвестием весьма значительных результатов, полученных при разработке формализованных систем в современной ло­гике и ее практических приложениях. Работы Лейбница по математической логике не публиковались при его жизни и не были извест­ны широкой научной общественности. Поэтому при всей их ценности они не оказали определяющего влияния на интенсивную разработку этой дисциплины, что началось со второй половины XIX века.

Дальнейшее развитие логики и первое упот­ребление термина «формальная логика» отно­сятся к деятельности немецкого философа и ученого Иммануила Канта (1724-1804). Кант трактует логику как науку о правильном при­менении рассудка и разума вообще, о том, как он должен мыслить, и выделяет в ней два раздела – аналитику и диалектику. Аналитика, поскольку она изучает формы рассудка и разума, представляет собой канон для распознавания формальной правильности нашего познания. Диа­лектика же возникает, когда, по мнению Канта, теоре­тическую и общую доктрину хотят применить в качестве практического искусства, т.е. органона.

Несомненной заслугой И.Канта является признание ограниченности формальной логи­ки и выход за ее рамки. Он разрабатыва­ет так называемую трансцендентальную логику, имеющую философский характер. И если формальная ло­гика по Канту изучает формы мышления, аб­страгируясь от анализа предметного содержа­ния, то трансцендентальная логика выясняет те (трансцендентальные) условия, которые придают нашим знаниям именно априорный или до-опытный характер и обеспечи­вают возможность всеобщих и необходимых истин; согласно этому, именно логика мышления человека определяет специфику восприятия и познания им окружающего мира.

Трансцендентальная логика должна была ответить на вопрос о том, как возможно научное знание, какие предпосылки нужны для его достижения. В русле трансцендентальной логи­ки Кант ставит и решает проблему уровней познания, предпринимает анализ рассудка и разума как способов, форм и этапов познавательной деятельности, развивает философское учение о трансцендентальном сознании, обосновывает классифика­цию категорий как первоначальных чистых понятий синтеза и систему основоположений рассудка, обращается к проблеме антиномичности разума и т.д. Идея Канта о трансцендентальной логике послужила обоснованием творчес­кой сущности человеческой личности, ее взаимосвязи с духовной культурой человечества. Обсуждение этой идеи в философской и логико-методологической литературе способствовало становлению диалектической логики и теории познания.                         

Во второй половине XIX века в логике начинают широко использовать разработанные в математике методы исчисления. Это направление логики разрабатывается в трудах Д.Буля, Г.Фреге, Ч.Пирса, Б.Рассела, Я.Лукасевича и др. математиков и логиков. Теоретический анализ дедуктивных рассуждений метода­ми исчисления с использованием формализованных языков получил название математической или символической логики; математической логикой называют также особый раздел современной матема­тики, исследующий логическую специфику математических рассуждений и доказательств. Решающую роль в окончательном создании математической логики и ее первоначальном развитии сыграли труды английского логика и математика Джорджа Буля (1815-1864), который исходил из идеи аналогии между алгеброй и логикой. Он дал математический анализ теории умозаключений, выработал логическое исчисление.

С работ немецкого математика, философа и логика Готлоба Фреге (1848-1925) начинается применение логики для исследования оснований математики. С ним во многом связано дальнейшее развитие математической ло­гики. Фреге называют основоположником логицизма – течения, опирающегося на идею выведения математики из логики. Значительный вклад в развитие математической логики в дальнейшем внесли также Б.Рассел (1872-1970), А.Н.Уайтхед (1861-1947), Д.Гильберт (1862-1943) и др.

Математическая или символическая логика – это область знания, которая возникла в результате применения в логике формальных методов математики. Определение «математическая» указывает на сходство этой логики с математикой, которое основывается на применении символического языка, аксиоматического метода, формализации. Саму идею математической логики, получившей развитие в ΧIΧ-ΧΧ вв., обосновал Г.Лейбниц, который пытался создать универсальный язык, с помощью которого споры можно было бы решать посредством вычисления; он хотел всякому понятию дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы доказывать все истины, доступные логическому доказательству. Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое исчисление в виде вычисляющей машины – алгоритма и полагал, что математику можно свести к логике, а логику считал априорной наукой.       

Символическая логика – это интенсивно развивающаяся область логических исследований, включающая множество разделов или «логик», например, логика высказываний, логика предикатов, вероятностная логика и т.д. Большое внимание уделяется разработке многозначной логики, в которой помимо при­нятых в традиционной логике двух значений истинности – «истин­но» и «ложно» – допускается много значений истинности. Так, в разработанной польским логиком Я.Лукасевичем (1878-1956) трехзначной логике вводится третье значение – «возможно» («нейтрально»). Им была построена система модальной логики со значения­ми «возможно», «невозможно», «необходимо» и т.п., а также четы­рех-значная и бесконечно-значная логики. Многозначная логика предполагает, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинные значения; в свою очередь модальная логика, рассматривающая понятия необходимости, возможности, случайности и т.п. нормативных высказываний, и др. Благодаря этим новым разделам в сферу логического исследования начали вовлекаться естественные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли свои применения такие разделы символической логики как: логика времени, описывающая логические связи высказываний о прошлом и будущем; паранепротиворечивая логика, не позволяющая выводить из противоречий все что угодно; эпистемическая логика, изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т.п.; логика оценок, имеющая дело с понятиями «хорошо», «плохо», «лучше», «хуже» и т.п.; логика изменения, говорящая об изменении и становлении нового; логика причинности, исследующая утверждения о детерминизме и причинности; парафальсифицирующая логика, не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным; релевантная логика и др. Перспективной также является так называемая вероятностная логика, исследующая высказывания, принимающие множество сте­пеней правдоподобия – от 0 – до 1.

Символическая (математическая) логика имеет большое значение для развития математики, кибернетики, лингвистики, экономики, физики, биологии, приводит к возникновению новых направлений, используется в сфере производства при создании ЭВМ, информационно-логических систем. Символическая логика – это современная разновидность формальной логики, где выраженные словами логические понятия и их отношения заменяются символическими обозначениями, наподобие математических знаков. Сам термин «символическая логика» впервые использовал английский логик Д.Венн, опубликовавший в 1881 г. под таким же названием свою работу.

Происшедшие в логике в связи с ее развитием в ΧIΧ-ΧΧ вв. перемены приблизили ее к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, главной, определяющей стороной которой оно является.

В настоящее время развитие современной логики идет в двух основных направлениях: а) по пути разработки новых систем нео­классической логики, исследования свойств этих систем и отношения между ними, созда­ния общей теории; б) по пути (линии) расширения сферы примене­ния логики.

В общем, исследование процессов мышления/рассуждения в системах символической логики оказало очень сильное и плодотворное влияние на дальнейшее развитие формаль­ной логики. Вместе с тем математическая (символическая) логика не охваты­вает собой всех проблем традиционной формальной логики и не может ее полностью заменить. Это два направления, две исторические ступени, два этапа в развитии формальной логики.