Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, содержащая все касательные к кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через точку .
Нормаль к поверхности – это прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящей через точку касания .
Уравнение любой плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид: , где - нормальный вектор, перпендикулярный к плоскости. - точка касания. Уравнения любой прямой, проходящей через точку : - где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой . Для нормали в качестве направляющего вектора можно взять вектор .
Если уравнение поверхности имеет вид , то нормальный вектор к ней в точке : .
Тогда уравнение касательной плоскости: .
Уравнения нормали к поверхности в точке : .
Если уравнение поверхности имеет вид , то . (Это уравнение можно переписать в виде и положить .)
Пример 12.9. Составим уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .
Решение. Обозначим через . Найдем значения частных производных в точке : . Подставим полученные результаты в уравнения касательной плоскости и нормали. Ответ: уравнение касательной плоскости имеет вид или , а уравнения нормали - .
Пример 12.10. Составим уравнения плоскостей, касательных к поверхности и параллельных плоскости .
Решение. Уравнение касательной плоскости имеет вид: .
Так как она параллельна плоскости , то её нормальный вектор коллинеарен нормальному вектору этой плоскости . Необходимо найти точку касания . Координаты этой точки фигурируют при отыскании нормального вектора к поверхности. Рассмотрим уравнение поверхности в виде , где . Вычислим частные производные функции в точке касания :
Из условия коллинеарности векторов и следует пропорциональность их координат. Мы получим два уравнения с тремя неизвестными:
Третье уравнение получим, если учтём, что точка должна принадлежать поверхности, а, следовательно, её координаты обращают уравнение поверхности в тождество:
Для нахождения неизвестных решаем систему:
Найдём две точки касания: и .
Составим искомые уравнения касательных плоскостей с нормальным вектором , подставляя координаты точек и вектора в уравнение плоскости.
Ответ: касательная плоскость в точке имеет уравнение , а в точке - .
Занятия 14-15 . Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.
Ауд.: [3] 7.187–7.195 (неч.), 7.201, 7.205, 7.214.
Дома: [3]: 7.187–7.195 (четн.), 7.202–7.204, 7.210–7.213.
Часть 1. Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность такая, что для любого : ( ).
Определение. Точки локального максимума и минимума функции нескольких переменных называются точками локального экстремума данной функции.
Необходимое условие локального экстремума. Если - точка локального экстремума функции , которая является непрерывной в этой точке и имеет в ней конечные частные производные , , то .
Определение. Точки функции , в которых , называются стационарными точками функции.
Достаточное условие локального экстремума. Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка - стационарная точка этой функции. Тогда если дифференциал второго порядка знакоопределён, то точка является точкой локального экстремума. Причём, если , то это точка локального минимума, а если , то это точка локального максимума.
Заметим, что является квадратичной формой , и её знакоопределённость можно исследовать, используя критерий Сильвестра. Матрица этой квадратичной формы (матрица Гессе). В частности, для функции план исследования по достаточному признаку существования точек локального экстремума выглядит следующим образом.
Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка стационарная точка этой функции. Обозначим , , , . Тогда матрица Гессе имеет вид и её главные миноры и
1) если , то является точкой локального минимума;
2) если , то является точкой локального максимума;
3) если , то не является точкой локального экстремума;
4) если , то требуются дальнейшие исследования.
Пример 14.1. Исследуем на экстремум функцию .
Решение. Найдем стационарные точки, используя необходимые условия локального экстремума.
Получили 4 стационарные точки , , , . Применим теорему о достаточном условии локального экстремума для каждой точки (см. план). Вычислим частные производные , , , где .
В точке имеем точка не является точкой экстремума.
В точке имеем точка не является точкой экстремума.
В точке точка - точка локального минимума.
В точке точка - точка локального максимума. Вычислим экстремальные значения функции. .
Часть 2 . Условный экстремум функции двух переменных.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти максимум или минимум функции , достигнутый при условии, что её аргументы связаны уравнением (уравнение связи).
Если функции соответствует некоторая поверхность, то в этой задаче требуется найти точки, которые, во-первых, принадлежат линии пересечения поверхности и цилиндра, параллельного оси OZ, уравнение которого , и, в которых, во-вторых, функция принимает экстремальные значения.
План решения задачи.
Составляется «функция Лагранжа»: , где λ – некоторый множитель, и решается задача о нахождении обычного экстремума этой функции.
1. Точки, где возможен экстремум, находятся из необходимых условий экстремума, к которым надо присоединить уравнение связи:
2. Для выяснения наличия или отсутствия экстремума в найденных точках необходимо воспользоваться достаточным признаком экстремума. Возможны следующие варианты.
а) Можно, как в задаче о безусловном локальном экстремуме, составить дискриминант , где , Затем сделать соответствующие выводы:
б) Можно поступить иначе - составить определитель третьего порядка
в) Наконец, можно вопрос о наличии условного экстремума решить, рассмотрев второй дифференциал функции Лагранжа в точке , т. е.
, учтя при этом, что и связаны между собой уравнением (вычислен дифференциал левой и правой части уравнения связи ), где и не обращаются одновременно в ноль. Тогда
Пример 14.2. Найдём условные экстремумы функции при условии .
Геометрически это выглядит следующим образом. Наклонная плоскость пересекается круговым цилиндром. В пересечении получается наклонный эллипс, на котором имеются точки условного экстремума (см. рис. 10).
Решение. (См. план решения задачи) Составляем функцию Лагранжа . Находим точки, где возможен условный экстремум этой функции, решая соответствующую систему
2. Находим производные второго порядка от функции Лагранжа и используем достаточное условие. а)
,
.
Ответ: , .
Пример 14.3. Найдём точки экстремума функции при условии .
Решение. Выпишем функцию Лагранжа .
Найдем стационарные точки функции Лагранжа решив систему , то есть
.
Получим две точки при и при .
Используем способ, в котором исследуется знак дифференциала второго порядка функции Лагранжа (см. план, пункт в)). . Вывод, точка является точкой условного максимума.
Аналогично, в точке получаем , откуда следует, что точка является точкой условного минимума. Вычисляем значения функции в точках локальных условных экстремумов.
Часть 3 . Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.
Одно из свойств непрерывной функции заключается в том, что в замкнутой ограниченной области D множество числовых значений функции имеет точные верхнюю и нижнюю границы, причём обе они являются значениями функции по крайней мере в одной точке области. Эти значения называются наибольшим и наименьшим значениями функции в области D.
Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D соответственно через M и m. Эти значения могут достигаться функцией либо во внутренних точках области D (в точках экстремума), либо на границе области (и тогда они являются условными экстремумами функции).
План решения задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой области D, граница которой имеет уравнение .
1. Находим стационарные точки (точки, где и обращаются в нуль), принадлежащие области D .
2. Находим точки, где возможен условный экстремум функции при условии на каждом участке границы.
3. Вычисляем значения функции во всех найденных точках, а также в точках пересечения отдельных участков границы, если таковые имеются. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Пример 14. 4. Определить наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Решение. (См. план решения задачи)
1. Находим стационарные точки заданной функции, принадлежащие рассматриваемой области:
2. Составляем функцию Лагранжа: .
Находим её стационарные точки:
|
3. Вычисляем значения функции во всех полученных точках. , , , , . Выбираем из этих значений наибольшее и наименьшее.
Ответ:наибольшее значение функции достигается в точках ,
наименьшее значение – в точках
Дата: 2019-05-28, просмотров: 300.