Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, содержащая все касательные к кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через точку
.
Нормаль к поверхности – это прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящей через точку касания .
Уравнение любой плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
, где
- нормальный вектор, перпендикулярный к плоскости.
- точка касания. Уравнения любой прямой, проходящей через точку
:
- где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой
. Для нормали в качестве направляющего вектора можно взять вектор
.
Если уравнение поверхности имеет вид
, то нормальный вектор к ней в точке
:
.
Тогда уравнение касательной плоскости: .
Уравнения нормали к поверхности в точке :
.
Если уравнение поверхности имеет вид , то
. (Это уравнение можно переписать в виде
и положить
.)
Пример 12.9. Составим уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке
.
Решение. Обозначим через . Найдем значения частных производных в точке
:
. Подставим полученные результаты в уравнения касательной плоскости и нормали. Ответ: уравнение касательной плоскости имеет вид
или
, а уравнения нормали -
.
Пример 12.10. Составим уравнения плоскостей, касательных к поверхности и параллельных плоскости
.
Решение. Уравнение касательной плоскости имеет вид: .
Так как она параллельна плоскости , то её нормальный вектор
коллинеарен нормальному вектору этой плоскости
. Необходимо найти точку касания
. Координаты этой точки фигурируют при отыскании нормального вектора
к поверхности. Рассмотрим уравнение поверхности в виде
, где
. Вычислим частные производные функции
в точке касания
:
Из условия коллинеарности векторов и
следует пропорциональность их координат. Мы получим два уравнения с тремя неизвестными:
Третье уравнение получим, если учтём, что точка должна принадлежать поверхности, а, следовательно, её координаты обращают уравнение поверхности в тождество:
Для нахождения неизвестных решаем систему:
Найдём две точки касания: и
.
Составим искомые уравнения касательных плоскостей с нормальным вектором , подставляя координаты точек и вектора в уравнение плоскости.
Ответ: касательная плоскость в точке имеет уравнение
, а в точке
-
.
Занятия 14-15 . Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.
Ауд.: [3] 7.187–7.195 (неч.), 7.201, 7.205, 7.214.
Дома: [3]: 7.187–7.195 (четн.), 7.202–7.204, 7.210–7.213.
Часть 1. Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции
, если существует окрестность
такая, что для любого
:
(
).
Определение. Точки локального максимума и минимума функции нескольких переменных называются точками локального экстремума данной функции.
Необходимое условие локального экстремума. Если - точка локального экстремума функции
, которая является непрерывной в этой точке и имеет в ней конечные частные производные
,
, то
.
Определение. Точки функции , в которых
, называются стационарными точками функции.
Достаточное условие локального экстремума. Пусть имеет в области
непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка
- стационарная точка этой функции. Тогда если дифференциал второго порядка
знакоопределён, то точка
является точкой локального экстремума. Причём, если
, то это точка локального минимума, а если
, то это точка локального максимума.
Заметим, что является квадратичной формой
, и её знакоопределённость можно исследовать, используя критерий Сильвестра. Матрица этой квадратичной формы
(матрица Гессе). В частности, для функции
план исследования по достаточному признаку существования точек локального экстремума выглядит следующим образом.
Пусть имеет в области
непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка
стационарная точка этой функции. Обозначим
,
,
,
. Тогда матрица Гессе имеет вид
и её главные миноры
и
1) если , то
является точкой локального минимума;
2) если , то
является точкой локального максимума;
3) если , то
не является точкой локального экстремума;
4) если , то требуются дальнейшие исследования.
Пример 14.1. Исследуем на экстремум функцию .
Решение. Найдем стационарные точки, используя необходимые условия локального экстремума.
Получили 4 стационарные точки
,
,
,
. Применим теорему о достаточном условии локального экстремума для каждой точки (см. план). Вычислим частные производные
,
,
, где
.
В точке
имеем
точка
не является точкой экстремума.
В точке
имеем
точка
не является точкой экстремума.
В точке
точка
- точка локального минимума.
В точке
точка
- точка локального максимума. Вычислим экстремальные значения функции.
.
Часть 2 . Условный экстремум функции двух переменных.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти максимум или минимум функции , достигнутый при условии, что её аргументы связаны уравнением
(уравнение связи).
Если функции соответствует некоторая поверхность, то в этой задаче требуется найти точки, которые, во-первых, принадлежат линии пересечения поверхности
и цилиндра, параллельного оси OZ, уравнение которого
, и, в которых, во-вторых, функция
принимает экстремальные значения.
План решения задачи.
Составляется «функция Лагранжа»: , где λ – некоторый множитель, и решается задача о нахождении обычного экстремума этой функции.
1. Точки, где возможен экстремум, находятся из необходимых условий экстремума, к которым надо присоединить уравнение связи:
2. Для выяснения наличия или отсутствия экстремума в найденных точках необходимо воспользоваться достаточным признаком экстремума. Возможны следующие варианты.
а) Можно, как в задаче о безусловном локальном экстремуме, составить дискриминант , где
,
Затем сделать соответствующие выводы:
б) Можно поступить иначе - составить определитель третьего порядка
в) Наконец, можно вопрос о наличии условного экстремума решить, рассмотрев второй дифференциал функции Лагранжа в точке , т. е.
, учтя при этом, что
и
связаны между собой уравнением
(вычислен дифференциал левой и правой части уравнения связи
), где
и
не обращаются одновременно в ноль. Тогда
Пример 14.2. Найдём условные экстремумы функции при условии
.
Геометрически это выглядит следующим образом. Наклонная плоскость пересекается круговым цилиндром. В пересечении получается наклонный эллипс, на котором имеются точки условного экстремума (см. рис. 10).
Решение. (См. план решения задачи) Составляем функцию Лагранжа . Находим точки, где возможен условный экстремум этой функции, решая соответствующую систему
2. Находим производные второго порядка от функции Лагранжа и используем достаточное условие. а)
,
.
Ответ: ,
.
Пример 14.3. Найдём точки экстремума функции при условии
.
Решение. Выпишем функцию Лагранжа .
Найдем стационарные точки функции Лагранжа решив систему , то есть
.
Получим две точки при
и
при
.
Используем способ, в котором исследуется знак дифференциала второго порядка функции Лагранжа (см. план, пункт в)). . Вывод, точка
является точкой условного максимума.
Аналогично, в точке получаем
, откуда следует, что точка
является точкой условного минимума. Вычисляем значения функции в точках локальных условных экстремумов.
Часть 3 . Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.
Одно из свойств непрерывной функции заключается в том, что в замкнутой ограниченной области D множество числовых значений функции имеет точные верхнюю и нижнюю границы, причём обе они являются значениями функции по крайней мере в одной точке области. Эти значения называются наибольшим и наименьшим значениями функции в области D.
Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D соответственно через M и m. Эти значения могут достигаться функцией либо во внутренних точках области D (в точках экстремума), либо на границе области (и тогда они являются условными экстремумами функции).
План решения задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой области D, граница которой имеет уравнение
.
1. Находим стационарные точки (точки, где и
обращаются в нуль), принадлежащие области D .
2. Находим точки, где возможен условный экстремум функции при условии
на каждом участке границы.
3. Вычисляем значения функции во всех найденных точках, а также в точках пересечения отдельных участков границы, если таковые имеются. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Пример 14. 4. Определить наибольшее и наименьшее значение функции в области
.
Решение. (См. план решения задачи)
1. Находим стационарные точки заданной функции, принадлежащие рассматриваемой области:
2. Составляем функцию Лагранжа: .
Находим её стационарные точки:
|
3. Вычисляем значения функции во всех полученных точках. ,
,
,
,
. Выбираем из этих значений наибольшее и наименьшее.
Ответ:наибольшее значение функции достигается в точках ,
наименьшее значение – в точках
Дата: 2019-05-28, просмотров: 308.