Часть 4 . Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, содержащая все касательные к кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через точку .

Нормаль к поверхности – это прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящей через точку касания .

Уравнение любой плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид: , где - нормальный вектор, перпендикулярный к плоскости. - точка касания. Уравнения любой прямой, проходящей через точку : - где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой . Для нормали в качестве направляющего вектора можно взять вектор .

Если уравнение поверхности имеет вид , то нормальный вектор к ней в точке : .

Тогда уравнение касательной плоскости: .

Уравнения нормали к поверхности в точке : .

Если уравнение поверхности имеет вид , то . (Это уравнение можно переписать в виде и положить .)

Пример 12.9. Составим уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение. Обозначим через . Найдем значения частных производных в точке : . Подставим полученные результаты в уравнения касательной плоскости и нормали. Ответ: уравнение касательной плоскости имеет вид или , а уравнения нормали - .

Пример 12.10. Составим уравнения плоскостей, касательных к поверхности и параллельных плоскости .

Решение. Уравнение касательной плоскости имеет вид: .

Так как она параллельна плоскости , то её нормальный вектор коллинеарен нормальному вектору этой плоскости . Необходимо найти точку касания . Координаты этой точки фигурируют при отыскании нормального вектора к поверхности. Рассмотрим уравнение поверхности в виде , где . Вычислим частные производные функции в точке касания :

Из условия коллинеарности векторов и следует пропорциональность их координат. Мы получим два уравнения с тремя неизвестными:

Третье уравнение получим, если учтём, что точка должна принадлежать поверхности, а, следовательно, её координаты обращают уравнение поверхности в тождество:

Для нахождения неизвестных решаем систему:

Найдём две точки касания: и .

Составим искомые уравнения касательных плоскостей с нормальным вектором , подставляя координаты точек и вектора в уравнение плоскости.

Ответ: касательная плоскость в точке имеет уравнение , а в точке - .

Занятия 14-15 . Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.

Ауд.: [3] 7.187–7.195 (неч.), 7.201, 7.205, 7.214.

Дома: [3]: 7.187–7.195 (четн.), 7.202–7.204, 7.210–7.213.

Часть 1. Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность такая, что для любого : ( ).

Определение. Точки локального максимума и минимума функции нескольких переменных называются точками локального экстремума данной функции.

Необходимое условие локального экстремума. Если - точка локального экстремума функции , которая является непрерывной в этой точке и имеет в ней конечные частные производные , , то .

Определение. Точки функции , в которых , называются стационарными точками функции.

Достаточное условие локального экстремума. Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка - стационарная точка этой функции. Тогда если дифференциал второго порядка знакоопределён, то точка является точкой локального экстремума. Причём, если , то это точка локального минимума, а если , то это точка локального максимума.

Заметим, что является квадратичной формой , и её знакоопределённость можно исследовать, используя критерий Сильвестра. Матрица этой квадратичной формы (матрица Гессе). В частности, для функции план исследования по достаточному признаку существования точек локального экстремума выглядит следующим образом.

Пусть имеет в области непрерывные частные производные до 2 порядка включительно и точка стационарная точка этой функции. Обозначим , , , . Тогда матрица Гессе имеет вид и её главные миноры и

1) если , то является точкой локального минимума;

2) если , то является точкой локального максимума;

3) если , то не является точкой локального экстремума;

4) если , то требуются дальнейшие исследования.

Пример 14.1. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Найдем стационарные точки, используя необходимые условия локального экстремума.

Получили 4 стационарные точки , , , . Применим теорему о достаточном условии локального экстремума для каждой точки (см. план). Вычислим частные производные , , , где .

В точке имеем точка не является точкой экстремума.

В точке точка - точка локального минимума.

В точке точка - точка локального максимума. Вычислим экстремальные значения функции. .

Часть 2 . Условный экстремум функции двух переменных.

Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти максимум или минимум функции , достигнутый при условии, что её аргументы связаны уравнением (уравнение связи).

Если функции соответствует некоторая поверхность, то в этой задаче требуется найти точки, которые, во-первых, принадлежат линии пересечения поверхности и цилиндра, параллельного оси OZ, уравнение которого , и, в которых, во-вторых, функция принимает экстремальные значения.

План решения задачи.

Составляется «функция Лагранжа»: , где λ – некоторый множитель, и решается задача о нахождении обычного экстремума этой функции.

1. Точки, где возможен экстремум, находятся из необходимых условий экстремума, к которым надо присоединить уравнение связи:

2. Для выяснения наличия или отсутствия экстремума в найденных точках необходимо воспользоваться достаточным признаком экстремума. Возможны следующие варианты.

а) Можно, как в задаче о безусловном локальном экстремуме, составить дискриминант , где , Затем сделать соответствующие выводы:

б) Можно поступить иначе - составить определитель третьего порядка

в) Наконец, можно вопрос о наличии условного экстремума решить, рассмотрев второй дифференциал функции Лагранжа в точке , т. е.

, учтя при этом, что и связаны между собой уравнением (вычислен дифференциал левой и правой части уравнения связи ), где и не обращаются одновременно в ноль. Тогда

Пример 14.2. Найдём условные экстремумы функции при условии .

Геометрически это выглядит следующим образом. Наклонная плоскость пересекается круговым цилиндром. В пересечении получается наклонный эллипс, на котором имеются точки условного экстремума (см. рис. 10).

Решение. (См. план решения задачи) Составляем функцию Лагранжа . Находим точки, где возможен условный экстремум этой функции, решая соответствующую систему

2. Находим производные второго порядка от функции Лагранжа и используем достаточное условие. а)

Ответ: , .

Пример 14.3. Найдём точки экстремума функции при условии .

Решение. Выпишем функцию Лагранжа .

Найдем стационарные точки функции Лагранжа решив систему , то есть

Получим две точки при и при .

Используем способ, в котором исследуется знак дифференциала второго порядка функции Лагранжа (см. план, пункт в)). . Вывод, точка является точкой условного максимума.

Аналогично, в точке получаем , откуда следует, что точка является точкой условного минимума. Вычисляем значения функции в точках локальных условных экстремумов.

Часть 3 . Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.

Одно из свойств непрерывной функции заключается в том, что в замкнутой ограниченной области D множество числовых значений функции имеет точные верхнюю и нижнюю границы, причём обе они являются значениями функции по крайней мере в одной точке области. Эти значения называются наибольшим и наименьшим значениями функции в области D.

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D соответственно через M и m. Эти значения могут достигаться функцией либо во внутренних точках области D (в точках экстремума), либо на границе области (и тогда они являются условными экстремумами функции).

План решения задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой области D, граница которой имеет уравнение .

1. Находим стационарные точки (точки, где и обращаются в нуль), принадлежащие области D .

2. Находим точки, где возможен условный экстремум функции при условии на каждом участке границы.

3. Вычисляем значения функции во всех найденных точках, а также в точках пересечения отдельных участков границы, если таковые имеются. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Пример 14. 4. Определить наибольшее и наименьшее значение функции в области .