Определение. Если квадратичная форма содержит только квадраты переменных то такой её вид  называется каноническим.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом.

Очевидно, что в каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет диагональный вид . Откуда следует, что ранг квадратичной формы совпадает с числом отличных от нуля коэффициентов .

Канонический вид квадратичной формы, в котором коэффициенты равны одному из чисел , называется нормальным видом.

Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов.

 Пример 7.1. Привести квадратичную форму   к каноническому виду, используя метод Лагранжа .

Решение: Выделим слагаемые, содержащие множитель , и дополним их сумму до полного квадрата, тождественно преобразовав при этом квадратичную форму. Теперь выделим полный квадрат во второй скобке, добавляя и вычитая :

. Таким образом, если обозначить

,  то квадратичная  форма примет канонический вид:

Связь между новыми   и старыми   координатами вектора   можно записать в матричном виде: . Учитывая, что при переходе к новому базису , имеем , где  - матрица перехода (матрица преобразования).

Вычислив её, получаем  - матрица перехода к каноническому базису, в котором квадратичная форма имеет канонический вид

Замечание. Если в квадратичной форме (или на некотором этапе) вообще отсутствуют квадраты переменных, например,

, то сделаем вспомогательную замену переменных: . При этом квадратичная форма принимает вид: .    Дальше действуем как в примере 7.1.

Очевидно, что канонический вид квадратичной формы неоднозначен.

Решить задачи 4.210,4.211. [3]

Часть 2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Матрица квадратичной формы симметрическая, поэтому существует ортогональное преобразование, которое приводит эту матрицу к диагональному виду, а следовательно, саму квадратичную форму к каноническому виду.

Пример 7.2. Привести к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичную форму

.

Решение. Составим матрицу квадратичной формы .

Решим характеристическое уравнение . Оно имеет корни   (простой) и   (кратности 2).

Корню  соответствует нормированный собственный вектор .

Корням  соответствует двумерное пространство собственных векторов . Выбрав , получим .

Так как , пронормируем систему , и получим . В ортонормированном базисе  матрица квадратичной формы принимает  диагональный вид:  (где матрица перехода, составленная из координат ортонормированных собственных векторов,  ортогональна, т.е.  ).

Базис  является для квадратичной формы каноническим, форма в этом базисе имеет вид , где

- линейное ортогональное преобразование координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Эта связь координат следует из того, что при переходе к новому базису с матрицей перехода  координаты вектора  в этих базисах связаны формулой  или .