Определение. Пусть задано уравнение . Если точка  и уравнение  определяют в некоторой окрестности точки  однозначную функцию , то говорят, что уравнение  задает неявную функцию.

Теорема. Пусть функция  задана неявно уравнением , где  непрерывны в некоторой окрестности точки , причем . Тогда  имеет в точке  все частные производные и

Пример 12.4. Найдём частные производные  и  для функции, заданной уравнением .

Решение. Введем обозначение . Найдем , , . Тогда ; Пример 12.5. Найдём полный дифференциал неявной функции , заданной уравнением .

Решение. Используя свойства дифференциала (те же, что и для функции одной переменной), вычислим полные дифференциалы левой и правой частей заданного равенства.

Часть 3. Производная по направлению. Градиент функции. Рассмотрим функцию , дифференцируемую в некоторой области . В точке  дадим приращение переменным  так, чтобы точка . Пусть вектор , его длина , .

Определение. Производной функции  в точке по направлению вектора называется предел отношения приращения функции, соответствующего приращению , к самому  при условии его стремления к нулю: .

Если функция  дифференцируема в точках некоторой области, то в этих точках производная вычисляется по следующей формуле: ,                                                                                 где  – углы, образуемые вектором  с соответствующими осями координат.

Если , то , , .

Направляющие косинусы вектора  удовлетворяют равенству: .

Для функции двух переменных  производная по направлению вычисляется по формуле , т. к. . 

Производная по направлению в точке есть скорость изменения функции в данном направлении.

Определение. Градиентом функции в произвольной точке области, где существуют частные производные этой функции,  называется вектор,

координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции. .

Соответственно, для   градиентом называется вектор .

Замечания. 1. Вектор  в данной точке указывает направление наибольшего роста функции  в этой точке. При этом наибольшее значение производной по направлению в точке M принимает значение

наиб. ,  когда .

2. Градиент функции трёх (двух) переменных в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня, проходящей через точку М.

Пример 12.6. Найдём производную функции  в точке  по направлению от неё к точке  .

Решение. Производная функции   вычисляется по формуле . Найдём частные производные функции в точке М: , .

В качестве вектора направления возьмём вектор Тогда направляющие косинусы: , , . Подставляем найденные величины в формулу и получаем: .

Ответ: .

Замечание.  Т.к.  функция в данном направлении возрастает.

Пример 12.7. Найдём наибольшее значение производной по направлению для функции  в точке .

Решение. Известно, что направление наибольшего возрастания функции указывает вектор градиента. .

Вычислим значения частных производных в точке M:

 Отсюда следует, что

Это значение достигается в направлении вектора

Ответ:

Пример 12.8. Найдём  в точке  и линию уровня, проходящую через эту точку, для функции . Убедимся в их ортогональности.

Решение. а) По определению, . Вычислим частные производные функции z в точке М: ; .

Отсюда следует, что .

б) Для отыскания линии уровня положим z=C. Тогда .Это уравнения окружностей. Для линии уровня, проходящей через точку , выполняется условие . То есть ей соответствует значение . Отсюда следует, что уравнение искомой линии уровня .

 Убедимся в том, что в точке  вектор  ортогонален к найденной линии уровня, то есть он перпендикулярен касательной к окружности  в точке М. Тангенс угла  наклона касательной к окружности в точке М: . Угол наклона  к положительному направлению оси OX обозначим ψ:

 Из формулы  следует, что , т.к. , , ч. т. д.

Ответ: , .