Теорема. Если функции  дифференцируемы в точке , в которой , а ФНП  - дифференцируема в точке , то сложная функция  дифференцируема в точке и имеет производную

Чтобы составить формулу для вычисления производной от сложно заданной функции, полезно предварительно нарисовать схему зависимости заданной функции от всех переменных. По ней легко прослеживаются все связи. Рассмотрим несколько вариантов задания сложной                                                                    функции.                                                                                                                        1. Если , где , то функция   имеет непосредственно две частные производные  и . А если учесть, что , то , как функция одной переменной , имеет полную производную . Чтобы составить формулу для вычисления , построим схему зависимости z от своих переменных. По этой схеме составляем формулу . Здесь учтены все варианты зависимости функции z от переменной .

Замечание. Обратите внимание на обозначения производных.                                           - частная производная функции, которая вычисляется при условии, что переменная   не меняется;

 и  - полные производные от функций, зависящих только от одной переменной x.

2. Пусть , где . Схема зависимости и формулы для вычисления частных производных выглядят так:

Пример 12.1. Найдём частные производные от сложно заданной функции .

Решение. Представим функцию следующим образом: пусть , где . Построим схему зависимости функции z от всех переменных и по ней составим формулы для вычисления  и .

По схеме видим, что функция  зависит от переменной , которая связана только с .

Как бы от  к  можно попасть только по одному «пути», сделав два «шага» от  к  и от  к .

,

По схеме от  к  можно попасть или через , сделав два «шага», или через , сделав тоже два «шага».

 Обратите внимание на обозначение производных.  - полная производная от , т.к.   зависит от одной переменой .

При вычислении производных высших порядков следует помнить, что любая частная производная зависит от тех же переменных, что и данная функция, причём по той же схеме.

Пример 12.2. Убедимся, что функция   удовлетворяет уравнению .

Решение. Для сложной функции  введём переменную  так, что . Если  удовлетворяет данному уравнению, то подстановка частных производных в это уравнение приведёт его к тождественному равенству. Построим схему зависимости функции  от переменных, и, составив формулу для вычисления , найдём эту производную:

.

Схема зависимости  от переменных выглядит аналогично.

,т.к. .

т.к. .

Подставляем найденные  в уравнение:

После упрощения получаем , ч.т.д.

Часть 2 . Дифференциал сложной функции. Инвариантность полного дифференциала ФНП.

Если , то её полный дифференциал .

Эта форма записи сохраняется и в случае, если   являются не только независимыми переменными, но и функциями других независимых переменных. Если  - сложная функция, где , то

. Подставив все   в выражение полного дифференциала , получим после преобразования . То есть выражение  имеет тот же вид, что исходное. Отсюда следует, что полный дифференциал ФНП не зависит от того, являются ли переменные  независимыми или зависят от других переменных. (Свойство инвариантности полного дифференциала относительно переменных.) Дифференциал высшего порядка не обладает свойством инвариантности.

Пример 12.3. Найдём полный дифференциал сложно заданной функции .

Решение. Пусть . Тогда функция и её полный дифференциал . При этом  и . Подставив найденные  в формулу для , получим ответ: