Модель Уилсона

Обозначим через  количество продуктов одной группы товаров на складе в момент времени .

Предположим, что спрос на эту товарную группу на период времени  представляет собой детерминированную величину, то есть продажа товаров в единицу времени осуществляется равномерно с известной интенсивностью  тн/день.

С течением времени товарные запасы уменьшаются и, достигнув определённого уровня  в момент времени , называемый точкой заказа, сигнализируют о необходимости подачи заказа величиной  на пополнение запасов (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Динамика изменения товарных запасов

Полагая, что время на выполнение заявки известно и равно , поступление (и приём) товара на склад произойдёт в момент времени , когда на складе останется лишь страховой запас .

Пусть в начальный момент времени  объём товарных запасов составлял величину , а продажа товаров за время  составляет величину .

Тогда время подачи заказа на пополнение запаса составит значение

.

За время выполнения заказа  будет продано товаров

.

Тогда интервал времени поставок определяется уравнением

Число поставок на момент времени  определяется выражением

,

где    [...] – целая часть числа.

Общий объём поставок на момент времени  определится соотношением

.

Таким образом, уровень товарных запасов на любой момент времени  определяется уравнением 

Систему хранения товарных запасов можно интерпретировать в виде балансовой формулы: запас на конец анализируемого периода времени  равен запасу на начало периода  минус объём реализации ( ) плюс объём поступления товаров за анализируемый период ( ).

Задача управления товарными запасами состоит в выборе оптимальной величины объёма заказов (поставки) товаров , интервала между поставками , числа поставок  за период  и среднего запаса .

Критерием оптимальности могут служить суммарные издержки С по управлению товарными запасами:

, 

где  – затраты на хранение товаров за период ;

 – затраты на хранение единицы товара в течение одного дня;

 – величина среднего запаса;

 – размер одной партии поставки товара;

 – величина анализируемого периода (дней);

 – затраты на ввоз (транспортировку, завоз) товаров за период Т;

 – затраты на ввоз одной партии товара;

 – число поставок за анализируемый период;

 – общий объём поставок за анализируемый период Т;

 – интервал поставок.

Критерий минимизации издержек обращения запишется в виде:

.

Исходными данными для решения задачи (неуправляемыми параметрами в целевой функции) являются величины

Остальные параметры – управляемые (вычисляемые).

Их оптимальные значения  обеспечивают минимум издержек обращения.

Для нахождения оптимальных величин этих параметров определяем экстремум целевой функции  путём дифференцирования по  и приравнивания производной к нулю:

.

Отсюда получаем модели расчёта оптимальных параметров системы управления однономенклатурными запасами (рис. 9.2):

1) размер одной поставки товаров: 

;

2) средний запас текущего хранения:  

3) число поставок за период :  

4) интервал между поставками:

5) величина минимальных издержек :  

Это эквивалентно соотношению через исходные величины:

При этом

Рис. 9.2. Зависимость издержек от размера партии поставки