Применение функций полезности в игровых моделях
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это ещё один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска.

Функция полезности будет выглядеть по–разному для людей избегающих риск (рискофобы) и людей склонных к риску  (рискофилы) (рис. 8.11).

 

Рис. 8.11. Функция полезности для лиц, избегающих риска (кривая А),

и лиц, склонных к риску (кривая В)

 

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50% проиграть 200 рублей.

Человек, не склонный к риску (кривая А рис.8.11), отклонит это предложение, поскольку при выигрыше его функция полезности увеличится на величину , а при проигрыше его функция полезности уменьшится на величину .

При этом

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели удовлетворение от получения 200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором.

Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растёт при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теории принятия решений впервые стали использовать американские учёные Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Определить явный вид функции полезности для того или иного ЛПР достаточно сложно. В литературе предлагаются несколько способов определения функции полезности. Самый простой из них, когда известна функциональная зависимость , где U – функция полезности, x– выигрыш. В этом случае индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще других за основу берётся экспоненциальная функция.

Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес–приложениях используется функция полезности

В этой формуле x – денежная сумма, которой мы должны приписать определённое значение полезности, r – определяет меру предрасположенности к риску. Чем больше значение r, тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Если событие может иметь несколько исходов, то ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значение полезности этих исходов:

 

Пример 8.18. Бизнесмен имеет функцию полезности , где x – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара. С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой вложенный капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли бизнесмен инвестировать свой капитал?

Решение. Если не инвестировать капитал (x = 0), то значение функции полезности будет равно

Если инвестировать капитал, то с вероятностью 0,5 денежный выигрыш составит x = – 25, и функция полезности для этого исхода равна

С вероятностью 0,5 выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна

Ожидаемая полезность при инвестировании составит

Поскольку полезность инвестирования оказалась выше 10, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара.

 

Пример 8.19. Бизнесмен имеет функцию полезности , где x – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 3 тыс. долларов в строительство кафе. С вероятностью 0,2 он потеряет весь свой капитал и с вероятностью 0,8 выиграет 4 тыс. долларов.

Будет ли бизнесмен инвестировать свой капитал?

Решение. Если не инвестировать капитал (x = 0), то значение функции полезности будет равно

Если инвестировать капитал, то с вероятностью 0,2 денежный выигрыш составит x = – 3, и функция полезности для этого исхода равна

С вероятностью 0,8 выигрыш составит 4 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна

Ожидаемая полезность при инвестировании составит

Поскольку полезность инвестирования оказалась положительной, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство кафе.

 

Пример 8.20. Клиенту фирмы (клуба) предложили выбрать между получением 175 руб. и участием в лотерее, в которой можно выиграть 400 руб. с вероятностью 0,25 и 100 руб. с вероятностью 0,75. Если клиент является рискофобом, то какую альтернативу он выберет? Если предпочтения клиента описываются функцией полезности , то чему равен денежный (гарантированный) эквивалент лотереи?

Решение. 1. Клиент–рискофоб предпочитает получение ожидаемого среднего выигрыша лотереи с гарантией (с определённостью), не участвуя в лотерее.

Найдём средний ожидаемый выигрыш:

 

 

Поскольку ожидаемый средний выигрыш совпадает с гарантированным, то клиент–рискофоб предпочтёт получить 175 руб. с определённостью, т.е. откажется от участия в лотерее.

2. Денежный эквивалент лотереи – это такая сумма денег S, которая приносит агенту полезность, равную ожидаемой полезности лотереи.

Определим эту сумму:

Получаем уравнение

 

 

Тогда денежный эквивалент

 

Пример 8.21. Другим двум клиентам клуба предложили участие в этой же лотерее, в которой можно выиграть 400 руб. с вероятностью 0,25 и 100 руб. с вероятностью 0,75. Но их предпочтения описываются, соответственно, функциями полезности  и .

Определить денежный эквивалент лотереи для этих клиентов.

Решение.

Денежный эквивалент лотереи – это такая сумма денег, которая приносит агенту полезность, равную ожидаемой полезности лотереи.

Эта сумма S определяется выражением:

 

 

Денежный эквивалент для первого клиента получим из уравнения:

 

 

Денежный эквивалент для второго клиента получим из уравнения:

 

 


 


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 8

 

1. Приведите классификацию игр и поясните их особенности.

2. Что такое минимаксная и максиминная стратегии игроков?

3. Что такое чистая и смешанная стратегии игроков?

4. В чём заключается геометрическое решение игровых задач?

6. Как игры сводятся к задачам линейного программирования?

7. В чём суть проблемы последовательного принятия решения?

8. Как строится и анализируется дерево решений?

Задание 8.1. Исследовать решение трёх игровых задач. Требуется:

1. Найти графическое решение игры № 1 (табл. 8.2).

2. Найти решение игры № 2.

3. Составить двойственную пару задач линейного программирования (прямую и обратную) для игры № 3. Указать возможные пути решения этих задач, их содержательный смысл.

4. Проанализировать результаты. Дать содержательную трактовку (физическую интерпретацию) имеющихся данных и полученных решений.

Варианты заданий приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Варианты исходных данных (матрицы платежей)

№ вар. Игра № 1 Игра № 2 Игра № 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

 

Задание 8.2. Фирма рассматривает вопрос о приобретении ценных бумаг (акций) некоторого эмитента.

Если рейтинг рассматриваемых акций возрастает, то такое приобретение окажется фирме выгодным.

Фирма может либо сразу принять решение о покупке пакета акций, либо выполнить (заказать) исследование рынка, что бы лучше оценить относительное правдоподобие повышения или спада рейтинга акций.

Имеем пространство действий фирмы: = {изучить рейтинг акций, купить пакет акций, не покупать акции}.

Пространство параметров состояний рынка ценных бумаг:  = {рейтинг акций возрос, рейтинг снизился}.

Выборочное пространство обследования рынка ценных бумаг: ={прогноз повышения рейтинга акций, прогноз снижения рейтинга акций}.

Вероятности всех неопределённых исходов рассматриваемой задачи приведены в табл. 8.3.

Требуется на основе построения дерева решений проанализировать стратегию действий фирмы и оценить её возможные результаты.

Необходимо:

1. Записать логическую структуру дерева в хронологическом порядке, описывая узлы решений и неопределённость вместе со всеми разветвлениями в каждом узле.

2. Определить вероятность для всех дуг неопределённостей, позаботившись о соответствующих условиях для каждой дуги.

3. Вычислить и приписать значения выигрыша финальным дугам.

4. Двигаясь по дереву справа налево, вычислить математическое ожидание в узлах неопределённостей, максимизировать выигрыш в узлах решений и, таким образом, определить наилучшие действия и их ожидаемые выигрыши.

5. Проанализировать полученные результаты для различных затрат на обследование рейтинга акций.


Таблица 8.3

Варианты исходных данных

 

Номер вари– анта Вероятности исходов Вероятности исходов Вероятности исходов Сумма средств на покупку акций, тыс.р. Процент выигрыша при удачной стратегии
1 0,75 0,48 0,65 24 27
2 0,8 0,35 0,7 13 48
3 0,9 0,22 0,85 8 56
4 0,75 0,48 0,65 27 30
5 0,85 0,35 0,7 53 14
6 0,9 0,29 0,83 10 35
7 0,82 0,22 0,65 6 18
8 0,96 0,48 0,7 70 11
9 0,9 0,35 0,85 16 53
10 0,75 0,27 0,65 25 18
11 0,85 0,22 0,7 15 17
12 0,9 0,48 0,83 50 45
13 0,82 0,35 0,65 60 14
14 0,76 0,27 0,7 35 6
15 0,9 0,2 0,85 8 40
16 0,75 0,38 0,65 15 14
17 0,85 0,35 0,7 13 15
18 0,87 0,27 0,78 80 8
19 0,82 0,25 0,65 17 11
20 0,76 0,3 0,7 23 26
21 0,95 0,38 0,85 5 50
22 0,92 0,35 0,65 6 14
23 0,75 0,27 0,7 7 135
24 0,85 0,27 0,8 35 48
25 0,9 0,24 0,65 8 16
26 0,82 0,38 0,7 15 20
27 0,96 0,35 0,85 13 19
28 0,88 0,27 0,65 80 5
29 0,98 0,18 0,7 1,6 28
30 0,97 0,33 0,83 4,5 41




Дата: 2019-03-05, просмотров: 540.