Функциональная зависимость. Необходимые и достаточные условия зависимости функций

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D . Одна из этих функций, например, f₁ называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф такая, что

f₁(x) = Ф(f₂(x),f₃(x),…,f_p(x)), " x Î D.

Функции y₁,…, y_p называются функционально зависимыми в области D , если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций из класса C¹

Тогда в любой точке D ранг rang < n .

Доказательство. Предположим для определенности, что

f_n(x) = Ф(f₁(x),…, f_n _-₁(x)), " x Î D .

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

Эти равенства означают, что n –я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк. Коэффициентами этой линейной комбинации являются частные производные .

Следствие 1. m =0 и система зависимая. Тогда якобиан =0 в области D .

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang = n в точке x⁰ , тогда система независима в D .

Замечание. Отметим, что условие функциональной зависимости связано с областью D . Система может оказаться независимой в D и зависимой в некоторой части этой области.

Теорема 2 (достаточное условие функциональной зависимости). Если

rang £ r < n в любой точке области D , а в некоторой точке x ⁰ ранг rang = r

¹ 0.

Тогда

1) все r функций являются независимыми в области D ,

2) существует окрестность точки x⁰, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.

6.5. Условный экстремум

Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.

Необходимые условия

Рассмотрим функцию

u = f(x₁, x₂,…., x_n , x_n ₊₁,…, x_n ₊ _m), или кратко u = f(x) (6.12)

определенную в области D Ì Rⁿ ⁺ ^m . Обозначим через D₁ множество точек из D , удовлетворяющих n условиям

, Ф(x)=0. (6.13)

Условия (6.13) назовем уравнениями связи.

Определение. Точка x⁰=( ) называется точкой условного максимума функции (6.12) при связях (6.13), если существует окрестность этой точки U(x⁰) такая, что

"xÎU(x⁰)ÇD₁ : f(x)< f(x⁰).

Аналогично определяется условный минимум и условный экстремум.

Введем обозначения p =(x₁, x₂,…, x_n), q =(x_n ₊₁, x_n ₊₂,…, x_n ₊ _m), x =( p , q)=(x₁, x₂,…, x_n ₊ _m), p⁰=( ), q⁰= , x⁰=(, p⁰,q⁰)=( ). Будем предпологать, что ФÎ C¹(U(x⁰)) и

, в точке x⁰.

Можно считать, что якобиан отличен от нуля в U(x⁰). В этом случае в каждой точке этой окрестности выполнены условия теоремы существования и единственности системы функций, заданных неявно системой уравнений (6.13) и эту систему можно разрешить относительно p в окрестности точки q ⁰ =

(6.14)

Таким образом, любая точка из области U(x⁰)ÇD₁ может быть записана в виде

(j₁(q),j₂(q),…,j_n(q), q).

Тогда необходимым и достаточным условием для условного экстремума в точке x⁰ будет «безусловный» экстремумом функции

F(q) = f(j₁(q),j₂(q),…,j_n(q), q) в точке q⁰.

В силу этого необходимыми условиями условного экстремума будет условия

j = n +1, n +2,…, n + m .

В частности,

(6.15)

Продифференцируем тождества (6.13)

(6.16_k)

Умножим каждое уравнение (6.16_k) на l _k сложим их c уравнением (6.15). В результате получим

(6.17)

Выберем l_i так, чтобы множители при зависимых дифференциалах dx_j (т.е. при j =1,2,…,n) обращались в 0

, j =1,2,…, n . (6.18)

Это можно сделать в силу того, что . Тогда из (6.17) получим

. (6.19)

Так как dx_j , j = n +1,…, n + m – дифференциалы независимых переменных, то из (6.19) следует, что все множители при этих дифференциалах равны нулю

, j = n +1, n +2,…, n + m . (6.20)

Таким образом, как это следует из (6.18), (6.20) для всех j будут выполнены равенства

, j =1,2,…, n + m . (6.21)

Поводя итог, можно сказать, что точка условного экстремума x⁰ должна удовлетворять системам уравнений (6.13), (6.21)

, j =1,2,…,n + m ,

которые дают m +2n уравнений для определения m +2n неизвестных. Этими неизвестными являются: n + m координат точки x⁰ и n неопределенных множителей l_j . Эти множители называются множителями Лагранжа. Доказанное утверждение сформулируем в виде теоремы

Теорема (необходимые условия для условного экстремума). Пусть функция

u = f(x₁,…, x_n ₊ _m)

определена в области D Ì Rⁿ ⁺ ^m , x⁰ внутренняя точка D и заданы n непрерывно дифференцируемые связи

причем

¹0, в точке x⁰.

Тогда в точке x⁰ выполнены условия

, j =1,…, n + m . (6.22)

Замечание. При составлении уравнений (6.22) для поиска точек «подозрительных» на условный экстремум удобно использовать функцию Лагранжа

L = f + ,

условия (6.22) тогда запишутся в виде

(или dL=0).

Достаточные условия

Пусть в точке x⁰= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df = f(x) – f(x⁰) при условии, что xÎD₁(область, определяемая уравнениями связи). Для таких точек DF_i = 0, поэтому Df = DL , и исследование поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL . По формуле Тейлора

DL = , e_ij ® 0 при Dx_i ® 0.

Если выразить приращения Dx_i (i =1,…. n ) зависимых переменных через приращения Dx_k (k = n +1,…. n + m) независимых переменных (это можно сделать, продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , h_ij ®0 при Dx_i ®0.