Лемма 1. Единичная сфера S = S1(O)={xÎRn:r(x , O)=1} (O=(0,0,…,0)) является замкнутым ограниченным множеством.
Доказательство. Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f(x) = r(x0, x) является непрерывной функцией. Действительно, пусть последовательность {xk} принадлежит единичной сфере r(x0, xk)=1 и xk ® y . Тогда, переходя к пределу в равенстве r(x0, xk)=1 получим r(x0, y)=1, т. е. yÎ S1 .
Рассмотрим квадратичную форму
(Q)
где bkj некоторые постоянные, 
.
Лемма 2. Если квадратичная форма (Q) пололожительно определена, то
где S – единичная сфера евклидова пространства Rn с центром в начале координат, если квадратичная форма (Q) отрицательно определена, то
Рис. 5.7
Доказательство для первого случая. По второй теореме Вейерштрасса 
достигается в некоторой точке 
. Так как квадратичная форма положительно определена, то 
что и требовалось доказать.
Рассмотрим квадратичную форму
(5.9)
где akj(t)= 
, xt = x0 + t Dx , Dx = x – x0 , 
.
Теорема. Путь функция f(x) определена в окрестности стационарной точки x0 , имеет там непрерывные частные производные второго порядка, тогда, если квадратичная форма (5.9) в точке x0
1) положительно определена, то x0 строгий локальный минимум,
2) отрицательно определена, то x0 строгий локальный максимум,
3) знакопеременна, то x0 не является экстремумом
В остальных случаях ничего определенного сказать нельзя.
Доказательство. Для двух точек x0, x положим hk 
, тогда h=(h1,…,hn)ÎS1(O) и
f(x) – f(x0) = 
d 2f(xq)= 
= 
= 
.
В случае 1) q(h)= 
> r >0, где r = 
q(h) и поэтому величина f(x) – f(x0) в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 будет положительной (второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое слагаемое отделено от нуля).
Аналогично в случае 2) , квадратичная форма q(h)= 
< s <0 , s = 
q(h). Поэтому величина приращения функции f(x) – f(x0) в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 будет отрицательной.
В случае 3) существуют точки x¢, x¢¢ такие, что для их приращений 
выполняется 
. Рассмотрим два луча, выходящие из точки x0 в направлении точек 
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
По этим направлениям координаты приращений будут равны 
(yt – x0)k = tDxk¢¢ и r(x0, xt)= tr(x0,x¢), r(x0, yt)= tr(x0, x¢¢) . Тогда для приращений функции на первом луче получим выражение
f(xt) – f(x0) = 
Аналогично, для второго направления
f(yt) – f(x0) = 
.
Это означает, что по направлению xt будет f(xt) – f(x0) > 0, т.е. наблюдается минимум в некоторой проколотой окрестности исходной точки, а в направлении yt будет выполнено противоположное неравенство f(yt) – f(x0) < 0, т.е. имеется максимум.
Пример 1. z = x2 + y2 – 12x + 16y на всей плоскости. dz = 2x dx + 2y dy – 12 dx + 16 dy =(2x – 12) dx +2 (y +8) dy . x = 6, y = -4 – стационарная точка. d 2z = 2 dx2 + 2 dy2 – положительно определена. Строгий локальный минимум.
Пример 2. z = sin x2 – arctg y2 , (0,0).
dz = 
, 
, 
. Стационарные точки: 
k =0,1,2,….
= 
.
В точке (0,0) экстремума нет. В точках 
, k = 2l , l =0,1,2,…будет максимум. В точках 
, k = 2l +1, l =0,1,2,…экстремума нет.
Пример 3. Найти sup, inf функции z = x 2 – xy + y 2 , на множестве | x | + | y | £ 1.
Абсолютный минимум в стационарной точке, начале координат. Максимум равный 1 в вершинах квадрата.
Например, на стороне x + y =1, z = x 2 – x(1- x ) +(1 - x)2=3x2-3x +1.
Часть 6. Теория неявных функция
6.1. Отображение и его матрица
Матрица Якоби, якобиан отображения. Свойства.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 188.
