df = A (x – x⁰ ) + B(y – y⁰)

есть приращение аппликаты на касательной плоскости, (рис. 5.3)

Рис. 5.3

Или в плоскости сечения плоскостью  

Рис. 5.4

На рис. 5.4 выбрано другое расположение точек, чем на рис. 5.3.

5.2.3. Различные способы задания поверхностей

Поверхность – это отображение вида j : R² ® R³.

a) Явное задание

z = f(x,y), (x,y) Î D.

b) Параметрическое задание

, w = j(t), w Î R³, tÎR².

Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j ), непрерывно дифференцируемы, то есть принадлежат классу C¹ . Матрица Якоби отображения j определяется, как матрица типа 3х2, составленная из частных производных отображения

 , (u , v)Î D .

Обозначим ее миноры второго порядка F₂₃ , F₃₁ , F₁₂ .

, , .

 Можно показать, что в этом случае в точке M⁰(x⁰, y⁰, z⁰) где x⁰ = x(P⁰), y⁰ = y(P⁰), z⁰ = z(P⁰), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор

N . Этот вектор нормали можно находить из символического вектрного произведения

N

Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

F₂₃(P⁰)(x – x⁰) + F₃₁(P⁰) (y – y⁰) + F₁₂(P⁰) (z – z⁰) = 0

Или

.

Частные производные в определителе слева вычисляются в точке P⁰=(x⁰, y⁰).

c) Неявное задание поверхности

F(x , y , z) = 0.

Уравнение касательной плоскости в точке M⁰(x⁰, y⁰, z⁰) имеет вид (это будет доказано в разделе «Теория неявных функций»)

.

                                                                        5.5.

5.2.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Старшие производные

Пусть f(x , y) определена на D , если существует частная производная  в некоторой окрестности точки M⁰ , то можно говорить о производной от этой функции

, .

Аналогично определяются производные . Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае

.

Производная n–го порядка определяется, как производная от производной (n –1)-го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,

.

Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования).

Если функция u = f(x , y) имеет в окрестности точки M⁰(x⁰, y⁰) смешанные производные  и  , непрерывные в самой точке M ⁰ , то в этой точке смешанные производные будут равны

 = .

Доказательство. Рассмотрим выражение

W =                           (5.1)

Это же выражение можно записать в виде

W =                    (5.2)

Положим j(x) = f( x , y) – f( x , y⁰). Из (5.1) получим

W = = =                                       (5.3)

Теперь положим y(y) = f( x , y) – f(x⁰, y) . Из (5.2) получим

W = = =                                       (5.4).

Требуемое равенство получится, если перейти к пределу в (5.3), (5.4) при .

Замечание. Утверждение теоремы справедливо для смешанных производных любого порядка по любым переменным, лишь бы число дифференцирований по каждой переменной в обоих случаях было одно и тоже.

Например,

, при условии, что указанные смешанные производные существуют в некоторой окрестности и непрерывны в самой точке.