Последовательность {x^k}={( } называется сходящейся, если существует точка x такая, что . При этом пишут x^k ® x или .

Фундаментальная последовательность. Последовательность {x^k} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

"e>0 $M "m > M "p:r(x^{m + p} , x^m)<e

Из определения расстояния следуют неравенства

                             (4.1)

Неравенства (4.1) позволяют установить

Теорема 1. Последовательность {x^k} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности ее координат  , j =1,2,…,n .

Неравенства аналогичные (4.1) можно выписать и для сходящейся последовательности x^k ® x . Именно

                              (4.2)

Из (4.2) следует

Теорема 2. Последовательность {x^k} сходится к  точке x тогда и только тогда, когда последовательности ее координат  , j =1,2,…,n сходятся к соответствующим координатам точки x :

Следствие (Критерий Коши сходимости последовательности). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть x^k ® x . Для e = 1 $ M " m > M : r(x^m , x) < 1.  Тогда для                        "k : r(x^k , x) £ max [1, ]. То есть, все члены последовательности попали в шар радиуса max [1, ] с центром в точке x.

Лемма (О стягивающихся к нулю вложенных параллелепипедах). Для последовательности вложенных параллелепипедов, диагональ которых стремится к нулю, существует единственная общая точка.

Доказательство. Для n = 2. Дана система вложенных прямоугольников (слайд «Вложенные прямоугольники»)

{B_k}={[a_k , b_k]´ [c_k , d_k]}, B_{k +1} Ì B_k , d(B_k)®0. Рассмотрим системы вложенных отрезков для каждой из координат:

Вложенные прямоугольники

[a ₁ , b₁]É [a₂, b₂]É… É [a_k , b_k] É…, b_k – a_k ® 0 Þ $x общая для всех [a_k , b_k].

[с₁,d₁]É [c₂,d₂]É… É [c_k,d_k] É…, d_k –c_k ® 0 Þ $h общая для всех [c_k , d_k].

Точка (x,h) - искомая.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Дана ограниченная последовательность {x^k}={( } точек из Rⁿ . Последовательности координат будут ограниченными ( это следует из неравенств (4.2)) . Из последовательности первых координат { } выберем сходящуюся подпоследовательность { }. Последовательность { } ограничена и из нее так же можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Продолжая таким образом дальше получим:

{ } ограничена Þ { } сходится

{ } ограничена Þ { } сходится

…

{ } ограничена Þ { } сходится.

В результате n – шагов будет построена подпоследовательность номеров натуральных чисел {s_k} , такая, что сходящимися будут все подпоследовательности координат по этим номерам. ® x₁, ® x₂,…, ® x_n или ® x =( x₁, x₂,…, x_n).

4.2. Функции многих переменных

Предел функции. Критерий Коши. Предел в направлении заданного вектора. Повторные пределы.

Предел функции

Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rⁿ . Если для "x Î D по некоторому закону сопоставлено единственное число u Î R , то говорят, что задана функция, определенная на множестве D . При этом пишут

u = f(x)= f(x₁, x₂,…, x_n),

D называется областью определения функции f .

Функция осуществляет отображение множества D на некоторое множества из R¹.

В случае функции двух переменных z= f(x , y) , определенной на множестве D , можно ввести понятие графика функции. Графиком называют геометрическое место точек (x , y , f(x , y)),  (x , y) Î D . Геометрически, график функции может представлять собой некоторую поверхность (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Для исследования поверхности бывает удобно пользоваться линиями уровня. Для заданной поверхности линией уровня z = z₀ называется “кривая”, заданная  уравнением z₀= f(x , y).

Определение. Пусть f определена на D Ì Rⁿ , и x⁰ – предельная точка множества D . Число A называется пределом функции f при x ® x⁰ , если

"e>0$d>0"xÎDÇ :| f(x) - A|<e.

Пишут .

Если предел существует, то он единственен.

Аналогично тому, как это делалось для функции одного переменного, определяются пределы с участием символов ¥. Окрестностью ¥ называется множество U_r(¥)={x Î Rⁿ:r(x ,q)>r}, - начало координат.

,

Примеры. ;"N$d>0"xÎD ,0<r(x , x⁰)<d:| f(x)|> N .

;"e>0$r"xÎD ,r(x ,q)>r:|f(x)- A|<e, q=(0,0,…,0).

Определение предела по Гейне. .  Для любой последовательности типа Гейне {x^k} выполнено .

В этом определении a может быть точкой или символом ¥ , A –может быть числом или символами ¥ , + ¥ , - ¥ . Последовательность типа Гейне определяется, как последовательность, удовлетворяющая условиям:

1) x^kÎ D ,    2) x^k ¹ a ,     3) .

Можно показать, что определение по Гейне и по Коши эквивалентны.