См. слайд «Частная производнная».

Частная производная

Некоторые обозначения .

Определение. Функция f(x) дифференцируема в точке в точке x⁰ , если ее приращение в этой точке представимо в виде

Df = (A, Dx)+o(r),

где (A,Dx)= , r=r(x,x⁰), o(r)=e(x, x⁰)r(x,x⁰), .

Линейная функция (A ,Dx) называется дифференциалом и обозначается

df(x⁰) =(A,Dx)= A₁Dx₁ +…+ A_nDx_n .

Замечание. В определении дифференциала величину o(r)=er можно записывать в виде

a₁Dx₁+a₂Dx₂+…+a_nDx_n =(a , Dx), где a - бесконечно малый вектор.

Действительно, имеем er= = , и обратно, .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Всякая дифференцируемая в точке x⁰ функция непрерывна в этой точке.

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Теорема. Если f(x) дифференцируема в точке x⁰ и df = , то в этой точке существуют все частные производные .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Следствие. Дифференциал функции в точке (коэффициенты A_k ) определяется однозначно.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если функция f имеет частные производные в некоторой окрестности точки M⁰ , непрерывные в самой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Доказательство (для случая n = 2). Для приращения функции можно записать равенства

 Df = f(x,y) – f(x⁰,y) + f(x⁰,y) – f(x⁰,y⁰)= + =

= +aDx +bDy ,

где a , b - бесконечно малые функции. Здесь была использована теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Пример функции, имеющей частные производные в точке, но не дифференцируемой в точке f ( x , y ) =  (слайд «Сечения»).  

Сечения

Отметим, что | f ( x , y )| £ | y | Þ функция  f(x , y) непрерывна всюду. Обе производные в точке равны нулю: = =0, = = . Если бы функция была дифференцируема в точке , то Df = o(r) Þ , или . Но при x = y получим .

5.1.3. Простейшие свойства дифференциала. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть u = f(x) дифференцируема в точке x⁰ = (x₁⁰, x₂⁰,…, x_n⁰) и функция j(t), t =(t₁,…, t_m) дифференцируема в точке t⁰ и x⁰ = j(t⁰). Тогда в окрестности точки t⁰ определена сложная функция F(t) = f(j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t⁰ и

dF =

Доказательство. В силу дифференцируемости  f  и j_j эти функции непрерывны в точках x⁰ и t⁰ соответственно. Из теоремы о непрерывности сложной функции суперпозиция определена в  некоторой  окрестности точки  t⁰ . Для краткости, будем обозначать  r=r(x , x⁰)=r(j(t),j(t⁰)), ,    Dx_i =j_i(t) – j_i(t⁰) . Отметим, что  ограничено в некоторой окрестности точки t⁰ . Действительно,

r £ max|Dx_i |, |Dx_i | = £

Так как , то  , откуда и следует ограниченность этой функции. Далее

DF =Df = , Dx_i = .

Подставляя выражения Dx_i из второго равенства в первое получим

DF = = .

Из ограниченности   следует, что e¢ = - бесконечно малая функция и дифференцируемость сложной функции доказана. При этом дифференциал равен

Следствие. В силу единственности дифференциала, справедливо равенство

.

5.1.4. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть F(t) = f(j(t)), t Î R^m  сложная функция, как уже отмечалось

dF = = = = = .

Таким образом,

dF = .

Первый дифференциал функции F имеет такую же форму, как и в случае, когда x  является независимым переменным. Это свойство носит название свойством инвариантности формы первого дифференциала. В частности, отсюда следуют широко используемые свойства дифференциала

1) d(u+v) = du + dv.

2) d(uv) = vdu + udv .

3) d(u/v) = (vdu – udv)/v².

Докажем третье свойство.

, ч.т.д.

5.1.5. Производная по заданному направлению. Градиент

Пусть u = f(x , y , z) , M⁰(x⁰, y⁰, z⁰)Î D . Градиент функции f  в точке M⁰ определяется по формуле grad f = =  i +  j + k .

Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l = cos a i + cos b j + cos g k , обозначим текущую точку на луче, выходящем из исходной точки в направлении вектора l , через

M ^t = (x⁰ + t cos a , y⁰ + t cos b , z⁰ + t cos g )=M⁰ + t l .

Производной функции f(x , y , z) в точке M⁰ по направлению вектора l  называется предел

.

       Для иллюстрации рассмотрим функцию двух переменных . Точка  и текущая точка , лежащая на луче  показаны на рис. 5.1. В плоскости  (рис. 5.2) предел  представляет собой обычную производную функции, которая получается в сечении поверхности  плоскотью проходящей через точку M⁰ параллельно вектору l = cos a i + cos b j  и оси Oz.

Рис. 5 .1	Рис. 5.2

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M⁰ , то

=(grad f , l )

Доказательство.  Отсюда, по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

= =(grad f , l ).

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Задача. Для заданной функции f(x)  в точке x⁰  найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).

Решение. Так как l) то искомое направление определяется вектором l = .

5.2. Гладкие поверхности

Касательная и нормаль к поверхности. Способы задания поверхностей. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.