Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла  с особенностью в точке b необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0"x¢, x¢¢,b - d < x¢, x¢¢ < b: <e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  =  

"e>0$d>0"x¢,x¢¢, b - d < x¢, x¢¢ <b:|F(x¢¢)-F(x¢)|<e.

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0 £ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений (считаем x¢< x¢¢)

.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x ) = O(g(x)), x ® b , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 , , то

1) если 0< k <+ ¥ , то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

2) если k =0, то сходимость Þ сходимость .

3) если k = ¥ , то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e  существует такое, что для

 будут выполнены неравенства

 или

                                                   (3.2)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (3.2), если взять e=k/2. В случае k =0 следует рассмотреть правое неравенство из (3.2) для какого-нибудь e, например, e=1.

Теорема 2.

Если $ c > 0 $ p < 1 " x , xÎ[a , b) : 0 £ f(x)£ , то интеграл сходится.

Если $ c > 0 $ p³ 1 " x , xÎ[a , b): f ( x)³ , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p < 1 интеграл  сходится,

при p ³ 1 интеграл  расходится.

При k = 0 и p < 1 интеграл сходится,

при k = + ¥ , p ³ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов с особенностями в левом конце или во внутренней точке.

Пример 1. .

Пример 2.

Пример 3.

3.2. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения.

Абсолютная и условная сходимость. Интегрирование по частям, замена переменного. Формулы Эйлера.

Определение

Несобственный интеграл  (или )называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл  (или, для интеграла 2-го рода, ).

Критерий Коши абсолютной сходимости. Для абсолютной сходимости интеграла первого рода  необходимо и достаточно выполнение условия

"e>0 $ M " R¢,R¢¢, M< R¢ < R¢¢ : <e.

Для абсолютной сходимости интеграла второго рода  с особенностью в точке b  необходимо и достаточно выполнение условия

"e>0 $d "x¢, x¢¢, b - d < x¢ < x¢¢ < b: <e.

Замечание. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Это следует из неравенства  и  критерия Коши.

Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример. , сходятся абсолютно, так как для подинтегральных функций справедливы неравенства .

Пример. Интеграл  сходится. Действительно,

.

 Пример. Интеграл  расходится.

Действительно, для интеграла можно записать следующее неравенство

   .

Так как интеграл сходится, а второй интеграл  расходится, то и интеграл  будет расходящимся.

Определение. Несобственный интеграл  ( или  ) называются условно сходящимся, если (или   ) сходится, а интеграл (или   ) расходится.

Пример. Интеграл  , как это следует из предыдущих примеров, сходится условно.

Теорема (Признак Абеля). Пусть f и g определены на [a ,+¥). f(x) интегрируема на [a ,+ ¥), g(x) монотонна и ограничена , тогда сходится .

Доказательство. По третьей теореме о среднем (R ¢ < R ¢¢)

.

Правую часть в этом равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно больших .

Теорема (Признак Дирихле). Пусть f и g определены на  [a ,+¥).

1) f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную

£ K , для " A³a ,

2) g(x) монотонна и стремится к 0 при x ® ¥ ,

 тогда сходится.

Доказательство. По третьей теореме о среднем (R ¢ < R ¢¢)

Правую часть в этом равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно больших .

.

Пример. ,a>0, сходится по признаку Дирихле. Для этого в качестве функции

нужно взять  sin x , а в качестве функции g(x) нужно выбрать функцию .