Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢, R ¢ > M , R¢¢ >M : <e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела .

"e>0$M " R¢, R¢¢ > M:| F(R¢¢)- F(R¢)|<e.

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходимость Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из соотношений

(для определенности можно считать R¢ < R¢¢ ) и критерия Коши.

Второе утверждение доказывается от противного. Если расходится, а сходится, то по первому утверждению и должен сходиться.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)= O(g(x)), x®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g ( x )> 0 , , то

1) если 0<k <+ ¥ , то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

2) если k =0, то сходимость Þ сходимость .

3) если k =¥, то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

или

(3.1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (3.1), если взять e= k/2. В случае k =0 следует рассмотреть правое неравенство из (3.1) для какого-нибудь e, например, e=1. В случае k =¥ для B =1 найдется M такое, что при будет выполнено

или при x > M. Тогда Так как , то и .

Теорема 2. Если 0 £ f(x)£ для всех x , 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.

Если f ( x )³ для x , 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится,

при k = + ¥ , p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .

3.1.3. Несобственный интеграл второго рода

Пусть функция f(x) определена на [a , b) и интегрируема на любом [a , b -e], не ограничена в окрестности точки b .

Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

= .

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся.

В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точке b (рис. 3.1, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность справа»).

Рис. 3.1

Интеграл 2-го рода, особенность справа

Аналогично определяется интеграл 2-го рода для функции с особенностью в точке a .

Пусть функция f(x) определена на (a , b] и интегртируема на любом [a +e, b] , не ограничена в окрестности точки a .

= .

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся (рис. 3.2, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность слева»)

Рис. 3.2

Интеграл 2-го рода, особенность слева

Для случая с особенностью в точке b интегралы , сходятся или расходятся одновременно ( a₁, a₂ любые числа из (a , b) ). Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству:

Рассмотрим теперь случай с особенность во внутренней точке cÎ (a , b ) отрезка [a , b].

Пусть f(x) определена на [a , c)È (c , b] , интегрируема на любых [a ,с-e] и [c +e, b] , не ограничена в окрестности точки c . Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла , . В этом случае полагают

= + .

В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Из перечисленных свойств следует свойство аддитивности интеграла второго рода по множеству (рис. 3.3, слайд «Интеграл 2-го рода»).