I. Дроби вида .

для a¹1 и .

II. Дроби вида .

1) b = 1

, где u=x+p/2, a²=q - p²/4. Далее ln ( u²+a² )+С.

+C.

2) b > 1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

= =

= = .

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно

позволяющее вычислять последовательно интегралы J_n , последующий по предыдущему .

Пример. Вычислить интеграл .  Далее  И окончательно получим .

1.3 Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей. Дифференциальные биномы. Интегрирование трансцендентных функций.

  1.3. 1.Интегралы вида

       Через R(u , v ,…, w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u , v ,…, w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.

Пример. Выражение  можно представить в виде , где .

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей).

Пример. Свести интеграл  к интегралу от рациональной функции. В этом примере, наименьшее общее кратное m =18 и, следовательно, надо сделать замену , откуда находится  . После чего находится . Интеграл  такой заменой будет сведен к интегралу от рациональной функции: = .

1.3. 2.Интегралы вида . Подстановки Эйлера

a) a > 0,

В этом случае ax²+ bx + c = ax²+2  xt + t², откуда  –рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R₁(t) - рациональная функция от t . Кроме того,  dx = , где  - также некоторая рациональная функция.

b) Корни x₁, x₂  квадратного трехчлена ax²+ bx + c вещественные, тогда .

Если x₁ = x₂ , то = |x – x₁| и иррациональность отсутствует. Если x₁ ¹ x₂, то полагают  и задача сводится к ранее рассмотренной.

. Наличие модуля приводит лишь к тому, что потребуется рассматривать два случая:  и .

В случае вещественных корней x₁, x₂  можно так же сделать замену .

c) c>0

. Тогда ax²+ bx + c = x ² t ² +2  xt + с, ax + b = xt² +2 t ,

- рациональная функция. После замены получим

=R₁(t) - рациональная функция от t, dx = R₂(t)dt .

Этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax ² + bx + c = < 0 для всех x и область определения выражения  пуста.

1.3. 3. Интегрирование дифференциальных биномов m , n , p – рациональные числа.

Сделаем замену x = , x^m(a + bxⁿ)^p dx = . Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида . Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а)  p – целое (a+bt)^p t^q=R( t, t^q ).

б)  q – целое (a+bt)^p t^q=R( t, (a+bt)^p ).

в)  p+q – целое (a+bt)^p t^q=