1.1. Первообразная, неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и интегрирование по частям.

Определения

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на связном множестве X , если F ¢(x) = f(x).

Примеры:

1)     f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥),

2)  f(x)=a (Const), F(x)=a x+C, X=(-¥,¥),

3) f(x)=cos x, F(x)= +C, X=(-¥,¥),

4) f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥),

5) f(x)=1/x, F(x)=ln |x|+C, X=(-¥ , 0).

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X , то G = F + C также является первообразной для f , и наоборот, если G , F - первообразные для f , то G = F + C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F = ln | x | и G =ln| x | + sign x имеют общую производную, равную  f(x)=1/x на множестве X =(-¥,0)È(0,¥), в то время, как их разность =sign x и, таким образом, не являются константой на X. Из этого примера слелует, что условие: « X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множество связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f на связном множестве X (если они существуют), называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

См. слайд «Неопределенный интеграл».

Неопределенный интеграл

Таким образом, если F – первообразная для f на X, то

=F ( x )+ C на множестве X .

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла  буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+ C . Так, если x =j(t), то можно написать

F(j(t))+ C = .

 Другими словами, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций  и x =j(t).

Свойства неопределенного интеграла

1) , в частности, .

2) = f + C .

3) , с точностью до аддитивной постоянной.

4) , с точностью до аддитивной постоянной.

Все эти свойства проверяются непосредственно по определению. Например, второе свойство. Производная функции  равна , поэтому  является первообразной для функции . Любая другая первообразная отличается от нее на константу. Таким образом, . В четвертом свойстве необходимо добавить следующее замечание. Равенство  следует понимать так. Для любой первообразной  из множества функций  найдутся первообразные  из множеств , такие, что . И наоборот, для любой пары функций  из множеств , их сумма  будет принадлежать множеству .

Таблица неопределенных интегралов

Из таблицы производных можно получить таблицу интегралов.

1)  + С, a ¹ - 1.

2) = ln| x | + С, X ={x>0} или X ={ x<0 }, но не на X =(-¥,0)È(0,¥) .

3) + C, a¹1, =e^x+C.

4)  = - cos x + C,  = sin x + C.

5) , , .

6) = arctg x + C, = arctg  + C.

7) =tg x + C, =- ctg x + C.

8)  + C.

9) + C.

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C.

11) = th x + C , = -cth x + C .

1.1.4. Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X  т.е. =F(x)+ C , функция x =j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+ C , тогда функция F(t)= f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=  (формула замены переменного).

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

 cos t dt =  d sin t = + C = .

J = , сделаем замену x = t⁶, тогда

J=6 =6 =6t – 6 arctg t + C =6 –6 arctg +C.

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v ¢(x)dx , тогда существует и интеграл du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям).

  Доказательство. Пусть dv = F(x)+ C. Тогда функция uv – F  будет первообразной для , что можно проверить дифференцированием: . Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.

Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v(x) = ln x , u(x) = x , тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

1.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные. Метод неопределенных коэффициентов.

Предварительные сведения из алгебры многочленов

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

P(x ) = , a ³ 1, и - многочлен, причем .

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a : P(a)= P ¢(a)=…= P^(a-1)(a)=0, P^(a)(a)¹0.

Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена . Действительно, пусть . Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка , будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции  по формуле Тейлора в точке  будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)

.

Если число  является корнем многочлена  и  - порядок первой отличной от нуля производной , то

= = , .

б) Если z = u + i v , v¹0  комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство  . Поэтому, если z корень многочлена P(x) = a₀+…+ a_kx^k +…+ a_nxⁿ , то = = = =P( ).

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x²+px+q)^b , b ³ 1, Q(z)¹0,

(x - z)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)²+v²=x²-2ux+u²+v²= x²+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a₁, a₂,…, a_r -действительные корни кратностей a₁, a₂,…, a _r , а z₁, z₂,…, z_s комплексные корни кратностей b₁,b₂,…, b_s . Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x ² + p_kx + q_k =(x - z_k)(x - ).

Определение . Рациональная функция ( отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь .

, - R ( x ) – многочлен, дробь - правильная.

R(x) –называется целой частью, а дробь P₁/Q₁ –остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: Выделить целую и дробную часть

Таким образом,