Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Р.7.1. Динамические напряжения  в элементе конструкции (рис. 32, а) определяются по формуле (где  – статическое напряжение,  – нормальная сила,  – площадь поперечного сечения,  – сила тяжести груза,  – коэффициент динамичности. Для анализа используем при­ближенную формулу коэффициента динамичности (где  – статическое перемещение в месте приложения нагрузки,  – длина эле­мента конструкции,  – модуль нормальной упругости материала элемента. Динамические напряжения при растяжении  стержня  равны  Уменьшение в 4 раза объема стержня или площади его поперечного сечения или длины приводит к увеличению динамического напряжения в два раза, а уменьшение радиуса поперечного сечения в четыре раза приводит к увеличению напряжения в 4 раза. Уменьшение в четыре раза высоты падения груза h, или веса падающего груза , или модуля нормальной упругости материала стержня приводит к уменьшению динамического напряжения в два раза.

Динамические напряжения  в стержне, представленном на рис. 32, б, определяются по формуле (  – высота падения груза ,  – статическое перемещение в месте падения груза под действием силы . Статическое перемещение в стержне под действием силы  (рис. 32, б) (  – модуль нормальной упругости материала элемента,  – длина стержня,  – осевой момент инерции,  – радиус круглого поперечного сечения). Коэффициент динамичности равен  При увеличении параметров  и  в четыре раза динамические напряжения возрастают, соответственно, в два раза и в шестнадцать раз.

Максимальные касательные динамические напряжения на боковой поверхности вала (рис. 32, в) при резкой остановке определяются по формуле  (  – кинетическая энергия,  – модуль упругости при сдвиге,  – объем вала). При увеличении в четыре раза длины стержня, или площади поперечного сечения, или объема вала, касательные динамические напряжения  уменьшатся в два раза. При увеличении модуля упругости при сдвиге  в четыре раза напряжение увеличивается в два раза.

Р.7.2. Динамические напряжения в стержне определяются формулой При увеличении высоты падения груза в девять раз динамические напряжения вырастают в три раза.

ПРИЛОЖЕНИЕ

П1. Основные понятия прикладной механики

Внешняя сила – мера взаимодействия физических объектов. Если какое-либо тело рассматривают изолированно от окружающих его тел, то действие последних заменяют внешними силами.

Деформация – изменение формы и размеров тела в результате внешнего воздействия. Деформацию считают упругой, если она исчезает после устране­ния вызвавшей ее силы. В противном случае, деформацию называют остаточной.

Упругость – свойство тела проявлять упругую деформацию.

Пластичность – свойство тела проявлять остаточную деформацию.

Прочность – способность конструкции или отдельных ее элементов вы­держивать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость – способность конструкции сопротивляться образованию деформаций.

Устойчивость – способность конструкции противостоять воздействиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия.

По времени действия внешние силы разделяют на постоянные, действующие все время существования изделия, и временные, действующие лишь в те­чение некоторого промежутка времени.

По характеру действия внешние силы разделяют на статические и дина­мические. Статические силы сообщают телу малые ускорения, которыми можно пренебречь при исследовании. Динамические силы связаны с возникновением значительных ускорений, которыми пренебрегать нельзя.

Объемные силы распределены по всему объему, занятому телом. Единица объемной силы – ньютон на кубический метр (Н/м³). Рассмотрим некоторое тело (рис. П1.1). Выделим в нем элементарный объем , на который дей­ствует объемная сила . Среднее значение этой силы находим по формуле

Значение объемной силы в окрестности точки тела равно

Объемную силу можно разложить по координатным осям х, у, z на составля­ющие , , .

Рис. П1.1. Поверхностная  и объемная  силы, действующие на элементарных участках твердого тела

Поверхностные силы распределены по поверхности. Единица поверхнос­тной силы – ньютон на квадратный метр (Н/м²). Выделим в некотором теле на его поверхности элементарную площадку  (рис. П1.1). Обозначим че­рез  поверхностную силу, действующую на данной элементарной площадке. Среднее значение поверхностной силы определяется по формуле

Значение поверхностной силы в окрестности точки тела определяет выра­жение

Поверхностную силу можно разложить по координатным осям х, у, z на составляющие .

Если поверхность соприкосновения очень узкая, то можно считать, что сила распределена по линии – распределенная сила. Единица измерения рас­пределенной силы – ньютон на метр (Н/м).

Если площадка, на которой действует поверхностная сила, мала по сравне­нию с поверхностью всего тела, то поверхностную силу можно считать сосредоточенной в точке тела. Единица сосредото­ченной силы - ньютон (Н).

Рис. П1.2. Внутренние силы в сечении твердого тела

Изменение сил взаимодействия между частицами тела вследствие деформации на­зывают внутренними силами, сопровождаю­щими деформацию. В прикладной механике введено допущение, что тело обладает сплошностью. Для выявления и вычисления внут­ренних сил применяют метод сечений.

Рассмотрим произвольное тело (рис. П1.2), на­груженное системой сил. Мысленно рассечем его некоторой плоскостью на две части А и В. В точке с обеих сторон сечения будут действовать силы взаимодействия. В зависимости от формы тела и характера приложен­ных внешних сил интенсивность внут­ренних сил в различных точках сечения может быть различна. В соответствии с треть­им законом Ньютона силы, которые действуют по сечению, принадлежащему части тела А, равны по величине и противоположны по направлению внутренним силам, которые действуют по сечению, принадлежащему части тела В.

Внутренние силы, действующие в сечении, можно привести к одной точке (обычно к центру тяжести сечения), в результате чего на каждой стороне сече­ния получим главный вектор внутренних сил  и вектор главного момента внутренних сил . Для того чтобы характеризовать закон распределения внут­ренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение.

Рис. П1.3. Элементарная площадка в окрестности точки С

Рассмотрим сечение А некоторого тела   (рис. П1.3). В окрестности точки С выделим элементарную площадку  (  – нормаль к площади сечения). Пусть  – равнодействующая внутренних сил на площадке,

где  – полное напряжение в окрестности точки С на площадке с нор­малью , единица напряжения - Паскаль (Па).

Как равнодействующую внутренних сил , так и полное напряжение  можно разложить на составляющие. Равнодействующую внутренних сил раз­ложим на составляющие , направленную по нормали к площадке, и , касательную к площадке. Полное напряжение разложим на нормальное напряжение, действующее в окрестности точки С на площадке с норма­лью ,

и касательное напряжение, действующее в окрестности точки С на площадке с нормалью  по направлению ,

Касательное напряжение имеет два индекса – нормали и касательной к площадке.

Рассмотрим площадку с нормалью , взятую в окрестности некоторой точ­ки деформируемого тела (рис. П1.4). Полное напряжение в общем случае не совпадает с направлением нормали. Его проекции на направление нормали  и касательной обозначим соответственно  и , тогда

Рис. П1.4. Составляющие ,  полного напряжения на элементарной площадке	Рис. П1.5. Проекции полного напряжения  на координатные оси

Если нормаль к площадке составляет с координатными осями  углы , то нормальную составляющую напряжений  можно найти через проек­ции полного напряжения на координатные оси  (рис. П1.5)

При повороте площадки напряжение в окрестности точки деформированного тела изменяется.

Для полной характеристики напряженного состояния в окрестности точки тела необходимо знать напряжения на трех взаимно перпендикулярных пло­щадках, проведенных через эту точку (рис. П1.6). Девять напряжений  – составляющие полных напряжений, действующих на трех ортогональных площадках в окрестности точки твердого деформированного тела.

Если внешняя нормаль к площадке совпадает с положительным направле­нием оси координат, то положительные составляющие напряжений направле­ны в положительную сторону осей координат. Если внешняя нормаль к сече­нию направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси координат, то положительные составляющие напряжений направлены в стороны, противоположные соответствующим направлениям осей координат.

Рис. П1.6. Составляющие напряжений  на трех взаимно перпендикулярных площадках

Напряженное состояние в окрестности тела характеризуется девятью со­ставляющими напряжений, которые обычно записывают в виде тензора на­пряжений

Выделим в твердом теле точку А (рис. П1.7). Пусть под действием внешних сил эта точка займет положение . Отрезок AB называют вектором полного упругого перемещения . Проекции вектора полного упругого перемещения на оси декартовой системы координат х, у, z обозначают  и называют составляющими перемещений точки.

Различают два вида деформации тела: относительное удлинение в окрестности точки и относительный сдвиг.

Величина  (рис. П1.7) - относительное удлинение в окрестности точки  по направлению  Относительное удлинение будем считать положительным, если бесконечно малые отрезки увеличиваются по длине.

Рис. П1.7. Удлинения в окрестности точки А твердого тела в направлении r	Рис. П1.8. Изменение прямого угла в окрестности точки А при деформации твердого тела

Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками AB и АС (рис. П1.8). После нагружения тела внешними силами этот угол изменяется, принимая значение . Величину, равную изменению прямого угла после нагружения между двумя взаимно перпендикулярными направлениями называют относительным сдвигом, углом сдвига или просто сдвигом. Относительный сдвиг считается положительным, если прямой угол уменьшается.

Относительные линейные и угловые деформации в направлении коорди­натных осей х, у, z обозначают , а изменение углов между этими отрезками – . Величины  называют составляющими деформации в окрестности точки деформируемого твердого тела. Состав­ляющие деформаций принято записывать в виде тензора, деформации

Перемещения и деформации зависят от координат точки тела, а напряжения – от координат точки, через которую проходит площадка (сечение), и от ориентации этой площадки. Составляющие напряжений и деформаций характеризуют напряженно-деформированное состояние точки твердого тела.

Три взаимно перпендикулярных нормальных напряжения, действующие в окрестности точки на площадке, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными напряжениями:

Три взаимно перпендикулярных направления, между которыми отсут­ствуют углы сдвига, называют главными осями деформации. Относительные удлинения  вдоль этих осей называют главными относительными удлинениями.

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между нормальным напряжением  и относительным удлинением

Коэффициент пропорциональности  – модуль нормальной упругости – характеризует свойство материала элемента конструкции сопротивляться деформации растяжения.

Коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и относительным сдвигом – модуль упругости при сдвиге G – характеризует свойство материала элемента конструкции сопротивляться сдвигу одного слоя материала конструкции относительно другого.

Взятое по модулю отношение поперечного относительного сжатия тела к относительному удлинению в пределах соблюдения закона Гука называют коэффициентом Пуассона .

Величины E и G выражают в Паскалях (Па).

Модуль нормальной упругости E , модуль упругости при сдвиге G и коэффициент Пуассона  определяют экспериментально.

Удлинение  твердого тела длиной l связано с воздействием температуры соотношением

где  – температурный коэффициент линейного расширения.

Если относительное перемещение элементов изделия происходит без деформации, то такую конструкцию называют геометрически изменяемой; если оно происходит только при деформации элементов – геометрически неизменяемой.

При определении механических свойств конструкционных материалов проводят испытания на растяжение, сжатие, кручение и изгиб образцов, форма и размеры которых стандартизированы (рис. П1.9).

Рис. П1.9. Схема стандартизованного стержня

Испытания на растяжения выполняют на разрывной машине при нагружении вдоль продольной оси стандартного образца диаметром  и рабочей частью . На рис. П1.10 приведены диаграммы растяжения для пластичного и хрупкого образцов:

 – максимальная нагрузка до которой зависимость между нагрузкой  и удлинением образца линейна;

а	б
Рис. П1.10. Диаграммы растяжения для пластичного (а) и хрупкого (б) образцов

 – нагрузка, при которой деформация образца происходит без ее увеличения (стадия текучести материала). После стадии текучести наступает стадия упругости материала. На диаграмме участок до точки С.

 – максимальная нагрузка, которую испытывает образец, по достижении которой, деформация локализуется в ослабленном сечении образца.

 – нагрузка в момент разрушения образца.

Для суждения о свойствах материала образца строят диаграмму условных напряжений (рис. П1.11) в системе ко­ординат , F₀ – первоначальная площадь поперечного сечения образца.

Вычисляют значения механических характеристик материала: ха­рактеристик прочности, определяющих способность материала сопротивляться нагрузкам, и характеристик пластичности, определяющих способность материала сопротивляться деформации. Характеристики прочности: предел пропорциональности  – напряжение, для которого справедлив закон Гука; предел текучести  – напряжение,

при котором деформации растут без заметного увеличе­ния нагрузки (или составляют 0,2% от длины рабочей части образца); временное сопротивление  – напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, предшествующей разрушению образца; истинное напряжение в момент разрыва . Характеристики пластичности: относительное удлинение

после разрыва, %:

Рис. П1.11. Диаграмма условных нагружений

,

относительное сужение поперечного сечения образца после разрыва

Относительное удлинение e произвольной точки С представляет сумму упругой  и пластической  деформации. После разгрузки образца упругая деформация  исчезает, а пластическая  остается.

Для избежания образования в элементах конструкций заметных остаточных напряжений, за величину опасного напряжения  для пластичных материалов принимается обычно предел текучести .

Для хрупких, а в некоторых случаях и умеренно пластичных материалов за  принимают временное сопротивление .

Расчет напряжений ведется по наибольшему напряжению , возникающему в некоторой точке нагруженного тела.

Искомые размеры элемента конструкции получают из условия

 где  – допускаемое напряжение, n – коэффициент запаса.

Пример П1.1. Какие возможности при решении задач дает введение допущений сплошности, однородности и изотропности материала конструкций?

Допущение о сплошности материала элемента конструкции позволяет пользоваться методом анализа бесконечно малых (интегрировать, дифференцировать). Оно приемлемо лишь для тел, размеры которых существенно превышают межатомные расстояния.

Допущение однородности материала допускает, что его свойства (физические и механические) неизменны в пределах рассматриваемой области.

Рис. П1.12. Главный вектор внутренних сил и вектор главного момента внутренних сил на схеме поперечного сечения стержня

Допущение анизотропности позволяет считать, что физические и механические свойства не зависят от угловой ориентации элемента конструкции.

Пример П1.2. На какие составляющие раскладываются приведенные к центру тяжести сечения главный вектор внутренних сил и вектор главного момента внутренних сил       (рис. П.1.12). Как их называют?

При деформации твердого тела нарушается взаимодействие между его частицами. Это при­водит к появлению внутренних сил. Для определения этих сил используют метод сечений. При этом внутренние силы можно представить главным вектором внутренних сил  и вектором главного момента  (рис. П1.13, а).

Для удобства вычислений эти векторы раскладывают на составляющие:

а) главный вектор сил на нормальную силу  и поперечные силы     (рис. П1.13, а);

б) вектор главного момента на три пары сил с крутящим моментом  и двумя изгибающими моментами  и  (рис. П1.13, б).

а	б
Рис. П1.13. Составляющие главного вектора внутренних сил (а) и вектора главного момента внутренних сил (б)