Р.4.1. Напряженное состояние в окрестности точки, а, следовательно, и главные напряжения , не могут меняться при изменении системы ко­ординат, кубическое уравнение должно быть инвариантно к преобразованию системы координат.

Р.4.2. Коэффициенты кубического уравнения  называют инвариантами тензора напряжений, потому что из значения от выбранной системы координат.

Р.4.3. При плоском напряженном состоянии, нормальное  и касательное  напряжения на площадке (рис. 45), нормаль к которой повернута на угол  по отношению к площадке, нормальной к оси x определяют выражения:

Значения главных напряжений и положения главных площадок определяют выражения:

а	б
Рис. 45. Схема плоского элемента, выделенного в твердом деформированном теле

По условию, заданному на рис. 45  Напряжения на наклонной площадке, повернутой на угол  и  определяют выражения:

В первом случае  а во втором случае .

Значения главных напряжений и положения главных площадок опреде­ляют выражения

Р.4.4. В примере, представленном на рис. 43                         Напряжения на площадках, нормаль к которым повернута относительно оси x на углы  и , определим по формулам из Р.4.3:

При повороте на угол :

При повороте на угол :

Р.4.5. Верхняя площадка (рис. 13, а) свободна от касательных напряжений. Главные напряжения на этой площадке равны нулю. Два других главных напряжения определим по формулам т.к.

а	б
Рис. 46. Схема плоского элемента, выделенного в твердом деформированном теле

В соответствии с правилом обозначения главных напряжений:  Напряженное состояние - линейное.

Боковая площадка (рис. 13, б) свободна от касательных напряжений. Главные напряжения на ней равны нулю. Два других главных напряжения определим по формулам: . Напряжен­ное состояние - плоское.

Боковая площадка (рис. 13, в) свободна от касательных напряжений. Это одна из главных площадок, напряжение на которой равно 100 МПа.

Два других главных напряжения определим при следующих значениях нормальных  и    касательных напряжений   на   площадках:

Одно из главных напряжений равно 200 Па, а другое равно нулю. В соответствии с правилом обозначения главных напряжений  Напряженное состояние - плоское.

Р.4.6. Эпюры напряжений в поперечном сечении стержня в окрестностях точек А, В, С имеют вид, представленный на рис. 47, а.

В окрестностях точек выделим элементарные параллелепипеды, на гранях которых представим напряжения в окрестностях точек А (рис. 47, в), В (рис. 47, г), С (рис. 47, д). Одна из граней каждого параллелепипеда совпадает с поперечным сечением.

а                                                                                     б
в	г	д
Рис. 47. Схема нагруженного стержня (а), эпюры нормального и касательного напряжений (б), схемы прямоугольных параллелепипедов, вырезанных из нагруженного стержня (в-д)

Точка А (рис. 47, в). Все три грани элементарного параллелепипеда являются главными площадками. На двух гранях напряжения равны нулю, на третьей не равно нулю: . Напряженное состояние - линейное.  – значение нормального напряжения в точке А.

Точка В (рис. 47, г). Напряжения на боковой грани равны нулю. Это одна главная площадка. Напряжения на двух других главных площадках

где  – значения нормального и касательного напряжений в окрестности точки В.

Точка С (рис. 47, д). Напряжения на боковой грани равны нулю. Это одна главная площадка. Напряжения на двух других гранях равны

где  - значение касательного напряжений в окрестности точки С  Напряженное состояние - плоское.

Р.4.7. В окрестности точек А, С (рис. 48) выделим элементарные параллелепипеды. Одна из граней каждого параллелепипеда совпадает с поперечным сечением. Точка С. Напряжения в окрестности точки С равны нулю. . Напряженное состояние – нулевое.

Точка А. Напряженное состояние в точке А определим при рассмотрении кубического уравнения. Учитывая, что куби­ческое уравнение принимает вид , получаем , , где  – значение  в окрестности точки А. Напряженное состояние – плоское.

а                                                                    б

Рис. 48. Схемы нагруженного стержня (а) и эпюра касательных напряжений (б)

Р.4.8. На гранях представлены главные напряжения. Эквивалентное напряжение  по четвертой теории прочности определяют по следующей формуле

В окрестности точки (рис. 16) действуют главные напряжения . По формуле

Р.4.9. На гранях представлены главные напряжения. Эквивалентные напряжения по теории наибольших касательных напряжений определяются по формуле , а по четвертой теории прочности по формуле

На гранях действуют следующие главные напряжения: а)   б)  в) .

При расчете по четвертой теории прочности для напряженных состояний а), б), в) напряжения  соответственно равны . Самое неблаго­приятное напряженное состояние "в".

При расчете по теории наибольших касательных напряжений, для напря­женных состояний а), б), в) напряжения  соответственно равны . Самое неблагоприятное напряженное состояние "в".

Р.4.10. На гранях представлены главные напряжения  По теории наибольших касательных напряже­ний, эквивалентное напряжение, определяемое по формуле , равно 400 МПа. Это напряжение превышает допускаемое напряжение . Деформируемое тело не удовлетворяет условиям прочности.

Р.4.11. На гранях представлены главные напряжения . Главные деформации определяются по формулам

Главные линейные деформации соответственно равны:

Р.4.12. Первый инвариант тензора напряжений  не зависит от пространственной ориентации параллелепипеда.  значит .

Р.4.13. Сумма относительных удлинений не зависит от пространственной ориентации элементарного параллелепипеда. Так как , а , то .

Р.4.14. Стержень, представленный на рис. 18, испытывает нормальное напряжение , , , где  - нормальная сила,  - площадь поперечного сечения стержня. Относительное продольное удлинение стержня , где  - модуль нормальной упругости материала стержня. Относительное поперечное удлинение стержня , где  - коэффициент Пуассона:  Изменение радиуса стержня

Р.4.15. Коэффициент Пуассона  определяется по формуле  где  - относительное продольное удлинение стержня;  - относительное поперечное сужение стержня. Коэффициент Пуассона равен .