4.1. Корни кубического уравнения  определяют нормальные напряжения, действующие на главных площадках. Почему оно инвариантно (безразлично) к изменению системы координат?

4.2. Как и почему так называют коэффициенты  кубического уравнения?

4.3. Для плоского элемента, выделенного в твердом теле, заданы напряжения в соответствии с рис. 11. Определить: а) значения напряжений на площадке, нормаль к которой повернута на угол  к горизонтальной оси;  б) значения напряжений на площадке, нормаль к которой повернута на угол  к горизонтальной оси; в) значения главных напряжений; г) положения главных площадок.

4.4. Для плоского элемента, выделенного в твердом теле, заданы напряжения в соответствии с рис. 12. Определить значения напряжений: а) на площадке, нормаль к которой повернута на угол  к горизонтальной оси;       б) на площадке, нормаль к которой повернута на угол  к горизонтальной оси.

Рис. 11. Схема плоского элемента, выделенного в твердом теле	Рис. 12. Схема плоского элемента, выделенного в твердом теле

4.5. На гранях элементарного параллелепипеда в форме кубика, вырезанного из деформированного тела, действуют напряжения в соответствии с рис. 13 (а - в).

Определить главные напряжения и характер напряженного состояния: объемное, плоское или линейное?

4.6. Стержень на рис. 14 испытывает плоский поперечный изгиб. Определить главные напряжения и напряженное состояние в окрестности точек A, B, C.

а	б	в
Рис. 13. Схемы элементарных параллелепипедов, вырезанных из деформированного тела

4.7. Стержень на рис. 15 испытывает кручение. Определить главные напряжения и напряженное состояние в окрестности точек A, C.

Рис. 14. Схема стержня, испытывающего плоский поперечный изгиб	Рис. 15. Схема стержня, испытывающего кручение

Рис. 16. Схема элементарного параллелепипеда, вырезанного из деформированного тела

4.8. На гранях элементарного параллелепипеда в форме кубика, вырезан­ного из деформированного тела, действуют напряжения в соответствии с рис. 16.

Определить значение эквивалентного напряжения по критерию удельной потен­циальной энергии формообразо­вания (четвертая теория прочности).

4.9. На рис. 17 приведены элементарные параллелепипеды в форме кубиков, вырезанные в окрестности точек деформированных тел. На гранях кубиков заданы напряжения в соответствии с рис. 17. Определить в каком кубике напряженное состояние самое неблагоприятное: а) по четвертой теории прочности, б) по теории наибольших касательных напряжений.

а	б	в
Рис. 17. Схемы элементарных параллелепипедов, вырезанных из деформированного тела

а	б
в	г
Рис. 18. Схемы элементарных параллелепипедов, вырезанных в окрестности точки деформированного тела

 4.10. На рис. 18 приведены схемы элементарных параллелепипедов в форме кубиков, вырезанных в окрестностях точек деформированного тела. На гранях кубиков заданы напряжения.

Для рис 18, а определить по теории наибольших касательных напряжений разрушится тело или нет при таком напряженном состоянии. Допускаемое напряжение материала  = 250 МПа.

4.11. На рис. 18, б известны значения нормального напряжения σ, модуля нормальной упругости E и коэффициента Пуассона . Определить главные линейные деформации.

4.12. На рис. 18, в на гранях кубика в системе координат  заданы напряжения  = 200 МПа,  = 100 МПа,  = 400 МПа,  = 50 МПа. В повернутой относительно системы координат  системе  =        = 150 МПа,  = 200 МПа,  = 50 МПа. Определить значение .

4.13. На рис. 18, г грани ориентированы по нормали к осям системы координат . Относительные удлинения в окрестности точки равны  =  = 0,005,  = 0,012, = 0,013. Известны относительные удлинения = 0,005, = 0,012 для другой пространственной ориентации . Определить значение линейной деформации .

4.14. Определить изменение радиуса r после деформации стержня, представленного на рис. 19, а.

Заданы: сила , длина l, радиусы поперечного сечения r и , модуль нормальной упругости стержня E и коэффициент Пуассона  (рис. 19).

4.15. В стержне круглого поперечного сечения радиуса r = 2 см и длиной l = 20 см, после растяжения длина увеличивается на 0,04 см, а радиус уменьшается на 0,0016 см. Определить коэффициент Пуассона материала стержня.