Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Задача 1. Дана плоскость с нормальным вектором  и прямая    с направляющим вектором , которая пересекает плоскость в некоторой точке Е.

Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение.

а

                                          – угол между прямой и плоскостью.  – угол между  и .

α

                                        Известна формула для нахождения угла между векторами:

, , отсюда

        (1)

Задача 2. Дана плоскость с нормальным вектором  и точка , не принадлежащая плоскости.

α

α

α

(а)

d

М0

Е

Найти расстояние d от точки М₀ до плоскости (α).

                                                          

Решение.

 

Проведем прямую (а) с направляющим вектором , проходящую через точку М₀ перпендикулярно к плоскости (α). Ее уравнение: . Так как (а) (α), то верно, что . Тогда можем записать, что  и уравнение прямой примет вид:   или в параметрическом виде .

Пусть прямая и плоскость пересекаются в точке Е. Тогда .

Найдем координаты точки Е. Так как это точка пересечения прямой и плоскости, то ее координаты – решение системы . Перепишем ее в виде .

Подставим выражения для x, y, z в 4-ое уравнение системы, получим:

 

 число, пусть t = t₀.

Подставим известное t₀  в выражения для x, y, z, т.е. в первые три уравнения системы:

 

,

,

.

Следовательно, координаты точки Е: . Тогда координаты вектора . Найдем .

= (подставим вместо t₀ его значение) = .

– расстояние от точки  до плоскости    (2)

Примеры.

 

α

М0

Задача 1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку М₀(0, 0, 1/2).

α

Решение.

Нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору

прямой . Следовательно, координаты направляющего

вектора прямой пропорциональны (совпадают) с координатами нормального вектора.

Подставим данные в каноническое уравнение: Ответ:

Задача 2. Найти точку пересечения прямой    и плоскости .

Решение.

Координаты точки пересечения М – это решение системы .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

α

М

, отсюда .                                         

Найдем решение системы:

,

отсюда х = 1+1=2, у = -2 - 1= -3, z = 6 – координаты точки пересечения. Ответ: .

Задача 3. Найти угол  между прямой в:  и плоскостью : .

Решение.

, . Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

 

.

Задача 4. Написать уравнение проекции прямой l:  на плоскость : .

Решение.

α

, .

α1

А

Чтобы найти проекцию d прямой в на плоскость ,

l

надо построить плоскость, проходящую через прямую l

А

перпендикулярно плоскости .

α

d

Пересечение полученной плоскости с плоскостью  -

прямая d - и будет искомой проекцией. 

Уравнение плоскости , походящей через прямую l перпендикулярно плоскости можно найти либо 1 методом, либо 2-ым. Это уравнение имеет вид: . Нормальный вектор .

Тогда общее уравнение искомой прямой d имеет вид: . 

Запишем это уравнение в каноническом виде. Для этого необходимо найти точку А, лежащую на прямой, и направляющий вектор .

Найдем координаты точки А: пусть z = 0, тогда , методом Гаусса получим, что

х = 0, у =-1. Координаты точки А(0, -1, 0).

Направляющий вектор  найдем по формуле:

Уравнение прямой d – уравнение искомой проекции имеет вид: .