Задача 1. Дана плоскость с нормальным вектором и прямая с направляющим вектором , которая пересекает плоскость в некоторой точке Е.
Найти угол между прямой и плоскостью.
а |
α |
, , отсюда
(1)
Задача 2. Дана плоскость с нормальным вектором и точка , не принадлежащая плоскости.
α |
α |
α |
(а) |
d |
М0 |
Е |
Решение.
Проведем прямую (а) с направляющим вектором , проходящую через точку М0 перпендикулярно к плоскости (α). Ее уравнение: . Так как (а) (α), то верно, что . Тогда можем записать, что и уравнение прямой примет вид: или в параметрическом виде .
Пусть прямая и плоскость пересекаются в точке Е. Тогда .
Найдем координаты точки Е. Так как это точка пересечения прямой и плоскости, то ее координаты – решение системы . Перепишем ее в виде .
Подставим выражения для x, y, z в 4-ое уравнение системы, получим:
число, пусть t = t0.
Подставим известное t0 в выражения для x, y, z, т.е. в первые три уравнения системы:
,
,
.
Следовательно, координаты точки Е: . Тогда координаты вектора . Найдем .
= (подставим вместо t0 его значение) = .
– расстояние от точки до плоскости (2)
Примеры.
α |
М0 |
α |
Нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору
прямой . Следовательно, координаты направляющего
вектора прямой пропорциональны (совпадают) с координатами нормального вектора.
Подставим данные в каноническое уравнение: Ответ:
Задача 2. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Решение.
Координаты точки пересечения М – это решение системы .
α |
М |
Найдем решение системы:
,
отсюда х = 1+1=2, у = -2 - 1= -3, z = 6 – координаты точки пересечения. Ответ: .
Задача 3. Найти угол между прямой в: и плоскостью : .
Решение.
, . Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
.
Задача 4. Написать уравнение проекции прямой l: на плоскость : .
Решение.
α |
α1 |
А |
l |
А |
α |
d |
Пересечение полученной плоскости с плоскостью -
прямая d - и будет искомой проекцией.
Уравнение плоскости , походящей через прямую l перпендикулярно плоскости можно найти либо 1 методом, либо 2-ым. Это уравнение имеет вид: . Нормальный вектор .
Тогда общее уравнение искомой прямой d имеет вид: .
Запишем это уравнение в каноническом виде. Для этого необходимо найти точку А, лежащую на прямой, и направляющий вектор .
Найдем координаты точки А: пусть z = 0, тогда , методом Гаусса получим, что
х = 0, у =-1. Координаты точки А(0, -1, 0).
Направляющий вектор найдем по формуле:
Уравнение прямой d – уравнение искомой проекции имеет вид: .
Дата: 2019-02-24, просмотров: 242.