Определение 12. Проекцией вектора на ось l называется длина вектора этой оси, заключенного между проекциями a и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.
В |
А |
С |
l |
а |
b |
D |
c |
d |
α |
Замечание. Проекцией точки А на ось l называется точка А0 такая, что прямая (АА0) пересекает ось l под углом 900 в точке А0.
Теоремы о проекциях:
Теорема 2. , где α – угол между вектором и положительным направлением оси l.
Теорема 3. . Проекция ломаной равна проекции замыкающего контура.
Теорема 4. . (без доказательства)
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
z1 |
z2 |
x |
y |
z |
ax |
ay |
az |
A |
B |
O |
Определение 13. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
, координаты вектора .
Если даны координаты точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
Длина вектора находится по формуле:
.
Следствие из теоремы 1. Вектор коллинеарен вектору тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: .
Замечание 1. , где λ – коэффициент пропорциональности. Если λ > 0, векторы сонаправлены ( ); λ < 0, векторы противоположно направлены ( ).
Замечание 2. .
Ортами координатных осей (Ох), (О y), (О z) называются векторы соответственно. .
α |
β |
γ |
x |
y |
z |
ax |
ay |
az |
A |
B |
O |
Так как , то подставив в (*), получим
разложение вектора по ортам .
Пусть α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, тогда в силу теоремы 2 получим, что
Определение 14. Направляющими косинусами вектора называются , где α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, причем , , .
Замечание. Из определения видно, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е. .
Определение 15. Нормой вектора в евклидовом пространстве называется длина вектора.
Определение 16. Орт вектора называется нормированным вектором.
Теорема 5 (о направляющих косинусах). Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:
.
Доказательство (для плоского случая)
ах |
ау |
х |
у |
О |
α |
β |
, .
, что и треб. доказать.
Определение 17. Даны два вектора и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам:
, .
Определение 18. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор такой, что .
Замечание. Для вектора n-мерного пространства справедливы все определения и теоремы.
Пример. Даны точки М1(2; 1), М2(–1;3) и вектор . Найти длину и направление вектора , координаты его орта, проверить коллинеарность векторов и , найти координаты вектора – 2 .
Решение.
Найдем координаты вектора .
.
Найдем направляющие косинусы: , . Отсюда, , следовательно, , .
Координаты орта по замечанию к определению 14: . Вектор называется нормированным вектором.
По следствию к теореме 1 проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие . Проверим: , следовательно, и не коллинеарны.
Найдем координаты вектора – 2 . Координаты вектора найдем по определению 18: , тогда по определению 15: – 2 .
Дата: 2019-02-24, просмотров: 271.