Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Определение 12. Проекцией вектора  на ось l называется длина вектора  этой оси, заключенного между проекциями a  и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление  совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.

 

В

А

С

l

а

b

D

c

d

α

,  

 

 

Замечание. Проекцией точки А на ось l называется точка А⁰ такая, что прямая (АА⁰) пересекает ось l под углом 90⁰ в точке А⁰.

Теоремы о проекциях:

Теорема 2. , где α – угол между вектором  и положительным направлением оси l.

Теорема 3. . Проекция ломаной равна проекции замыкающего контура.

Теорема 4. .                                                        (без доказательства)

x1

x2

y1

y2

z1

z2

x

y

z

ax

ay

az

A

B

O

Определение 13. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

, координаты вектора .

Если даны координаты точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то

 

Длина вектора находится по формуле:

.

Следствие из теоремы 1. Вектор  коллинеарен вектору  тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: .

Замечание 1. , где λ – коэффициент пропорциональности. Если λ > 0, векторы сонаправлены ( ); λ < 0, векторы противоположно направлены ( ).

Замечание 2. .

Ортами координатных осей (Ох), (О y), (О z) называются векторы  соответственно. .

α

β

γ

x

y

z

ax

ay

az

A

B

O

Рассмотрим радиус-вектор ,  построенный на векторах  (по правилу параллелепипеда), причем , , :  (*).

Так как , то подставив в (*),                      получим  

разложение вектора  по ортам .

 

Пусть α, β, γ – углы между вектором  и координатными осями, тогда в силу теоремы 2 получим, что

Определение 14. Направляющими косинусами вектора  называются , где α, β, γ – углы между вектором  и координатными осями, причем , , .

Замечание. Из определения видно, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е. .

Определение 15. Нормой вектора в евклидовом пространстве называется длина вектора.

Определение 16. Орт вектора называется нормированным вектором.

Теорема 5 (о направляющих косинусах). Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:

.

Доказательство (для плоского случая)

ах

ау

х

у

О

α

β

                                                       Из прямоугольного треугольника имеем, что

                        , .

                        , что и треб. доказать.  

 

Определение 17. Даны два вектора  и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам:

, .

Определение 18. Произведением вектора  на действительное число λ называется вектор такой, что .

Замечание. Для вектора  n-мерного пространства справедливы все определения и теоремы.

Пример. Даны точки М₁(2; 1), М₂(–1;3) и вектор . Найти длину и направление вектора , координаты его орта, проверить коллинеарность векторов  и , найти координаты вектора  – 2 .

Решение.

Найдем координаты вектора .

.

Найдем направляющие косинусы: , . Отсюда, , следовательно, , .

Координаты орта по замечанию к определению 14: . Вектор называется нормированным вектором.

По следствию к теореме 1 проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие . Проверим: , следовательно,  и  не коллинеарны.

Найдем координаты вектора  – 2 . Координаты вектора найдем по определению 18: , тогда по определению 15: – 2 .