Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1. Лемниската Бернулли ,

2. Спираль Архимеда

3. Логарифмическая спираль ,

4. Циссоида Диокла  или

5. Кардиоида  или

6. Астроида  или

7. Циклоида    или

 

Спираль Архимеда                Циссоиды

                  или синяя и красная линии –

                                                                                                                          ветви циссоиды

 

Кардиоида                                          Астроида                  Циклоида   

                  

П. 5. Уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой (с заданным нормальным вектором ):           .                          (1)  

 - угловой коэффициент 

 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным нормальным вектором :              .                       (2)

М0

 

М

Вывод: Рассмотрим текущую точку прямой . Тогда вектор  лежит на данной прямой. Следовательно, векторы  и  будут перпендикулярны: , то есть их скалярное произведение равно нулю . Найдем скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами:  – (2). Если раскроем скобки, то получим общее уравнение прямой – (1).

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным угловым коэффициентом k:                                   

,                                              (3)

,  угол между осью Ох (положительным направлением) и прямой.

Расположение двух прямых

1) Условие параллельности двух прямых:  (координаты пропорциональны ) или .

2) Условие перпендикулярности двух прямых:  ( ) или .

3) Угол между прямыми   и

     или  

Точка пересечения прямых находится как:

 

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и :

                                                      .                                                 (4)

5. Уравнение прямой в отрезках:            ,                                                    (5)

 где a и b – величины направляющих отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (Ох) и (Оу) соответственно.

6. Каноническое уравнение прямой   ,                                               (6)

 т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку  параллельно заданному вектору .

– направляющий вектор прямой.

7. Параметрические уравнения прямой ,                                                (7)

 т.е. уравнение прямой с параметром t, проходящей через данную точку  параллельно заданному вектору .

Нормальное уравнение прямой

у

х

р

α

β

(а)

О

М0

δ

                                           или .            (8)          

Если положение прямой относительно осей координат определять длиной р перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и углом α, образуемым этим перпендикуляром с положительным направлением оси (Ох).

Общее уравнение прямой может быть приведено к нормальному уравнению путем домножения на нормирующий множитель . Знак М выбирается противоположным к знаку С.

Отклонение точки М₀(х₀,у₀) от прямой (а) вычисляется по формуле: .

Расстояние от точки М₀(х₀,у₀) до прямой

М0

М0

d

(9)

 

Пример 1. Дана прямая (а): . 1) Составить уравнение прямой (а₁), проходящей через точку М₀ (2, 1), параллельно данной прямой. 2) Составить уравнение прямой (а₂), проходящей через точку М₀ (2, 1), перпендикулярно данной прямой.

Решение.

1) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие параллельности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а₁): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а₁) имеет вид:

.

2 способ. Нормальный вектор  Прямые параллельны, следовательно, параллельны их нормальные вектора. То есть нормальный вектор прямой (а₁): . Подставим в уравнение (2):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а₁) имеет вид: .

2) 1 способ. Найдем угловой коэффициент прямой (а): . Условие перпендикулярности двух прямых: , то есть угловой коэффициент прямой (а₂): . Подставим в уравнение (3):  и получим . Отсюда общее уравнение прямой (а₁) имеет вид: .

2 способ. Нормальный вектор  Прямые перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор прямой (а) параллелен прямой (а₂), то есть является направляющим вектором прямой (а₂): . Подставим в уравнение (4):  и получим ,. Отсюда общее уравнение прямой (а₂) имеет вид: .

 

Пример 2. Найти расстояние от прямой (АВ), где А(7, 4), В(3, –3) до точки С(5, 9).

Решение. Найдем общее уравнение прямой. Для этого подставим исходные данные в формулу (4):  и получим . Отсюда общее уравнение (АВ) . По формуле (9)  найдем искомое расстояние: .