П.5. Деление отрезка в данном отношении

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

М₁

М₂

Даны две точки

. Известно, что некая точка

делит отрезок [М₁М₂] в отношении λ:

или, что тоже самое

Найдем координаты точки М.

Обозначим , ,

Разложим векторы по базису векторов :

, , .

Имеем по правилу треугольника, что:

, (*)

Из равенства выразим вектор : .

Подставим в данное равенство оба равенства (*). Имеем: . Отсюда . Выразим вектор : .

Приравнивая проекции обеих частей на x, y, z , получим:

, , - координаты точки М.

Если точка М делит отрезок [М₁М₂] пополам, то есть λ = 1, то координаты точки М находятся по формулам: , , .

Пример. Найти координаты точки М, которая делит отрезок [М₁М₂] , где , в отношении 2 к 3.

Решение.

Дано . Тогда , , . Ответ: .

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов

называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

= . (1)

Скалярное произведение – это число (скаляр).

Скалярное произведение более, чем двух векторов не рассматривается.

Из формулы (1) следует, что

(2)

Проекции вектора на вектор

Известно, что проекция вектора на ось l вычисляется по формуле Пр _l = , где - угол между вектором и осью. Пусть вектор лежит на оси l и сонаправлен с ней. Тогда - угол между векторами и . Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле: Пр = .

Домножим обе части равенства на , получим:

Пр = , тогда, по определению, Пр = . Отсюда,

Пр = или Пр = . (3)

Геометрический смысл скалярного произведения

Скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемой вектором , то есть = Пр .

Механический смысл скалярного произведения

Скалярное произведение силы на вектор равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору : . (4)

Свойства скалярного произведения

2. Скалярный квадрат равен квадрату модуля:

Доказательство:

3. Если – действительное число, то

5. (5)

Доказательство.

Доказательство необходимости: 1) Пусть – ненулевые векторы. Тогда скалярное произведение тогда и только тогда, когда , т.е. когда . 2) Пусть среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). По определению -вектор можно считать перпендикулярным любому вектору, т.е. пусть .

Доказательство достаточности: 1) Пусть , причем – ненулевые векторы. Тогда скалярное произведение , так как . 2) Пусть , причем среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). Тогда скалярное произведение , так как длина нулевого вектора равна 0. (что и треб. док.).