,

Где .

Свойства дифференциала:

1. , где C− постоянная;

2. ;

3. ;

4. ;

55)Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Определение. Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R² имеет вид

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде:

.

Определение. Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.

Например, функция дифференцируема в любой точке R² так как ее частные производные и всюду непрерывны.

Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным усло­вием ее дифференцируемости в этой точке.

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение представимо в виде

,

где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и .

Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.

56)Дифференциал первого порядка функции нескольких переменных и его приложения к при-ближенным вычислениям.

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

, (2.6)

где

Пример.

Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию и выберемх₀ =1, у₀ = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем ,

Следовательно, учитывая, что f (1, 2) = 3, получим:

57)Правила дифференцирования сложной функции нескольких переменных.

Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки

z = f ( x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда

. (2.7)

Если же задать приращение только аргументу v, получим: . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu, а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu→0 и Δv→0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

(2.9)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t) ) , получить выражение для :

(2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что , получим, что

. (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.

58)Инвариантность первого дифференциала. Теоремы о частных производных неявно заданной функции нескольких переменных.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y) , где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х, определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией.

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х: для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

1. функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х₀ , у₀ );

2. F (x₀ , y₀ ) = 0 ;

3. при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х₀ , у₀ ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);

б) при х = х₀ эта функция принимает значение у₀ : f (x₀) = y₀ ;

в) функция f (x) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой областиD, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке . Тогда функцияу от х имеет производную

(3.2)

Пример. Найдем , если . Найдем , .

Тогда из формулы (3.2) получаем: .