,
Где .
Свойства дифференциала:
1. , где C− постоянная;
2. ;
3. ;
4. ;
55)Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функций нескольких переменных.
Определение. Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.
Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R2 имеет вид
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде:
.
Определение. Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.
Например, функция дифференцируема в любой точке R2 так как ее частные производные и всюду непрерывны.
Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция , определенная в , называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение представимо в виде
,
где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и .
Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.
56)Дифференциал первого порядка функции нескольких переменных и его приложения к при-ближенным вычислениям.
По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:
, (2.6)
где
Пример.
Вычислить приближенное значение .
Рассмотрим функцию и выберемх0 =1, у0 = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем ,
Следовательно, учитывая, что f (1, 2) = 3, получим:
57)Правила дифференцирования сложной функции нескольких переменных.
Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки
z = f ( x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.
Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда
. (2.7)
Если же задать приращение только аргументу v, получим: . (2.8)
Разделим обе части равенства (2.7) на Δu, а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu→0 и Δv→0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,
(2.9)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t) ) , получить выражение для :
(2.10)
Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х, то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что , получим, что
. (2.11)
Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х: слева стоит так называемая полная производная, в отличие от частной, стоящей справа.
58)Инвариантность первого дифференциала. Теоремы о частных производных неявно заданной функции нескольких переменных.
Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y) , где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v:
(2.12)
Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у, то есть является инвариантной (неизменной).
Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.
Определение 3.1. Функция у от х, определяемая уравнением
F (x, y) = 0 , (3.1)
называется неявной функцией.
Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса
задает у как двузначную функцию от х: для
Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:
Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:
1. функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х0 , у0 );
2. F (x0 , y0 ) = 0 ;
3. при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.
Тогда
а) в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);
б) при х = х0 эта функция принимает значение у0 : f (x0) = y0 ;
в) функция f (x) непрерывна.
Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.
Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой областиD, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке . Тогда функцияу от х имеет производную
(3.2)
Пример. Найдем , если . Найдем , .
Тогда из формулы (3.2) получаем: .
Дата: 2019-02-19, просмотров: 225.