Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пусть функция — раз непрерывно дифференцируема в точке и , но . Тогда:

1) если — четное и то — точка локального макси­мума.

2) если — четное и , то — точка локального минимума;

3) если — нечетное, то не является точкой локального экст­ремума.

 

47) Определение выпуклой и вогнутой функции. Достаточный признак выпуклости и вогнутости.

График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.3).

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).

Достаточное условие выпуклости (вогнутости).Пусть функция имеет вторую производную на интервале . Тогда, если на этом интервале, то функция выпукла, если , то график функции вогнутый на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба(рис. 5).

 

48)Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба.

Необходимое условие точки перегиба. Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю ( ), либо не существует.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.

Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.

 

Второе достаточное условие точки перегиба.Пусть в точке функция имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если , а , то – точка перегиба этой функции.

5. Асимптоты.

П рямая линия m называется асимптотой графика функции , если расстояние d от точки M, лежащей на этом графике, до прямой m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (Рис. 6 а), б), в)).

б

в

а

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные (рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов и равен бесконечности.

Обычно вертикальными асимптотами являются прямые в точках разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания вертикальных асимптот определяют точки бесконечного

разрыва функции. Тогда уравнение вертикальных асимптот . Вертикальные асимптоты могут быть и на границе области определения функции. Например, как у функции .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ).

Уравнение наклонной асимптоты к графику функции ищем виде , где

(*)

и (**)

Если хотя бы один из пределов (*) и (**) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (*) и (**) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

Частным случаем наклонной асимптоты (при ) является горизонтальная асимптота.

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ).

 

49)Достаточные признаки точки перегиба.

Определение. Точка графика непрерывной функции f(x), при переходе через которую кривая ме­няет направление выпуклости, называется точкой пере­гиба.

Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше [ графика, а с другой — ниже, т, e. в точке перегиба каса­тельная пересекает кривую (см. рис. 66).

Теорема 1 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция у = f(x) имеет непре­рывные производные до второго порядка включительно на интервале ]а; b[ и точка (х₀; f (х₀)), где х_о ]а;b[, является точкой перегиба графика функции f(x), то

Доказательство. Так как точка ( ;f(x_o)) яв­ляется точкой перегиба, то слева и справа от имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем .

Теорема 2 (достаточное условие). Если функция y=.f(x), x ]a; b[, дважды дифференцируема на ин-

тервале ]а; b[ и при переходе через х_о ]а; b[ вторая производная f"(x) меняет знак, то точки кривой с абсциссой х — х₀ является точкой перегиба.

Доказательство. Пусть f "(х) < 0 при и f"(x)>0 при х > х₀. Тогда при х < х₀ график функ­ции обращен выпуклостью вверх, а при х>х₀ —вы­пуклостью вниз. Таким образом, точка (x_o;f(x )) яв­ляется точкой перегиба графика функции y=f(x).

Аналогично доказывается, что если f"(x)>0 при х < х₀ и f"(х) < 0 при х > х₀, то точка (х₀; f(x₀)) яв­ляется точкой перегиба графика функции у = f(x).

Так как вторая производная функции у = f(x) мо­жет изменить свой знак при переходе не только через точки, в которых f"(x) обращается в нуль, но и через точки, в которых (х) не. существует, то точки пере­гиба следует искать среди критических точек второго рода.

Пример. Найти точки перегиба графика функции

= x³-2x² + 7x-4.

Решение, Данная функция определена на всей числовой прямой.

1. Находим:

,

|Вторая производная существует для любого действительного х и обращается в нуль при х = 2

-критическая точка второго рода. Следовательно, на интер­валах ]- ; 2[ и ]2; + [ функцияf"(х) сохраняет свой знак.

2. Методом пробных точек определяем знак произ­водной f " (х) на каждом из этих интервалов. При х = 0 ]- ; 2[ имеемf "(0) = -4 < 0, при х = 3 ]2; + [ имеемf "(3)= 2 > 0. Следовательно, точка кривой с абсциссой х = 2 является точкой перегиба.

3. Находим ординату точки перегиба: у = f(2) = 4 .

Таким образом, точка (2; 4 является точкой пере­гиба графика данной функции, причем на интервале ]- ; 2[ функция обращена выпуклостью вверх, а на интервале ] 2; + [ — выпуклостью вниз.

50)Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графика функции. Правило вычисления наклонной асимптоты.

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

или (рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x₀ , следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот.

Например, для кривой , вертикальной асимптотой будет прямая , так как , . Вертикальной асимптотой графика функции является прямая (осьОу), поскольку

.

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числуb:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Например, для функции имеем

, .

Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и .

2. Если

и ,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3. Если

и ,

то прямая (осьОх) является горизонтальной асимптотой графика функции .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

Пример

Найти асимптоты графика функции .

.

1) − точка разрыва второго рода:

, .

Прямая − вертикальная асимптота.

2) ,

,

.

Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

 

51)Основные определения функции нескольких переменных: базис в пространстве 𝑅𝑛, окрест-ность точки, открытое и замкнутое множества, область в пространстве 𝑅𝑛.

52) Область определения функции нескольких переменных, геометрический смысл, линии уровня.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.

Определение 1.2. Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).

Примеры.

1. z = xy, z = x² + y² - функции, определенные для любых действительных значений х,у.

2. - функция, областью определения которой являются решения неравенства .

Замечание. Так как пару чисел (х,у) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией нескольких независимых переменных в множествеМ, если каждому набору чисел из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f ,z = z .