Рассмотрим некоторые теоремы.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, то есть

, где C-const.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций

. (5)

Теорема 3. Производная произведения дифференцируемых функций равна

. (6)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

.

Замечание. Аналогично можно доказать формулу для произведения трех функций

.

Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна

. (7)

Замечание. Для функции вида , гдеC-const , рациональнее применять формулу производной произведения, а не частного:

32) Теоремы о производных обратной и сложной функций.

Теорема о производной сложной функции

Пусть дана сложная функция или , где так называемый промежуточный аргумент. Справедливо правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция в некоторой точкех имеет производную , а функция при соответствующем значенииu имеет производную , то сложная функция в указанной точкех также имеет производную , которая равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента пох :

. (8)

Сводная таблица основных формул дифференцирования

1. . 2. , , , .

3. , . 4. , .

5. . 6. 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. .

Теорема. Если функция дифференцируема, имеет обратную функцию и , то производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, то есть

или .

33)Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Привести доказательство для

y=cos x, y= , y=arcsin x

В тетради

34)Определение дифференциала, его геометрический смысл. Теорема об эквивалентности диффе-ренциала и приращения функции, её применение к приближённым вычислениям. Свойство инвариантности дифференциала.

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Приближенное выражение приращения функции через дифференциал.

Если функция дифференцируема в точке , то на основании формулы (1) ее приращение, соответствующее приращению , можно записать следующим образом:

.

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

, (7)

Которым широко пользуются.

Пусть надо вычислить значение функции в точке , т. е. число . Однако появилась необходимость заменить его приближенным значением :

.