Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у'_х.

Решение: Имеем x'_t=3t², y'_t=2t. Следовательно, у'_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

36) Определение производных и дифференциалов высших порядков. Примеры. Формула Лейбни-ца. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.

Пусть у =f (х) дифференцируемая функция, а её аргументх- независимая переменная. Тогда её первый дифференциалdy = f′ (x)dx есть также функция отх; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у =f (х) называется еёвторым дифференциалом (илидифференциалом второго порядка) и обозначаетсяd 2y илиd 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Здесь dx 2 обозначает (dx)2.

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Вообще, дифференциал n-гопорядка есть дифференциал от дифференциала(n-1)-гопорядка:d n y = d (d n - 1y) =f (n) (x) (dx)n.

Отсюда находим, что f (n(x)= d n y . В частности, приn = 1, 2, 3 соответственно получаем:dxn

отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если х – независимая переменная.

Пример. Найти d 2 y, еслиy = e 3x их – независимая переменная.Решение: так какy′ = 3e 3x,y′′ = 9e 3x, то имеемd 2y = 9e 3x dx 2.

Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, то есть существует ее производная в этой точке f ’ (Xo). Пусть f - дифференцируема в некоторой окрестности U(Xo). f’(x) определена на U(Xo) и если дифференцируема в точке Xo, то (f’(Xo))’=f’’(Xo). Вообще

Теорема: (Формула Лейбница)

Пусть функции U и V n раз дифференцируемы, т.е. существуют и . Значит (U*V) – тоже n раз дифференцируема, при этом

Доказательство:

Метод математической индукции:

Пусть при n=m – верно, т.е.

(*)

Надо доказать, что

Доказательство:

Теорема доказана.

37) Теорема Ферма о дифференцируемой функции.

Теорема. Пусть функция определена в некотором промежутке; имеет локальный экстремум во внутренней точке этого промежутка; дифференцируема в окрестности точки . Если – точка локального максимума, то при переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус:

(10)

Если – точка локального минимума, то при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс:

(11)

Если функция дифференцируема в точке , то

(12)

Доказательство. Предположим, что является точкой локального максимума функции . Тогда эта функция является возрастающей для значений x, расположенных на малых расстояниях слева от точки и, следовательно, при .
Поскольку функция является убывающей для значений x, достаточно близких к точке и расположенных справа, то при . Таким образом, утверждение (10) доказано. Аналогичным образом устанавливается справедливость утверждения (11).
Теперь предположим, что функция дифференцируема в точке и . Поскольку функция имеет экстремум в точке , то справа и слева от точки разность принимает значения противоположных знаков. Если , то функция возрастает в окрестности точки ; если , то функция убывает в окрестности точки . В обоих случаях не является точкой экстремума и, таким образом, допущение приводит к противоречию с условиями теоремы.

Рис. 1. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси 0x.

Рис. 2. Если функция принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение не во внутренней точке промежутка, а на одном из его концов, то производная этой функции в точке экстремума не обязательно равна нулю.

38) Теорема Ролля и её геометрический смысл.

Функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a;b] . В силу второй теоремы

Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения. Пусть это будут значения m иM. Могут представиться два случая:

f (a)= f (b)= M , наименьшее значение будет приниматься уже внутри отрезка. Следовательно, найдется точкаx0 (a;b) , в которойf (x0 )= m .

Но тогда по теореме Ферма f ′(x0 )= 0.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Если f (a)= f (b)= 0, то теорему Ролля можно сформулировать так:

между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

39)Теорема Лагранжа о конечных приращениях и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(x) :

1)непрерывна на отрезке [a;b];

2)дифференцируемана интервале (a;b) .

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 такая, что

=

Эта функция на [a;b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1)она непрерывна на [a;b] , поскольку непрерывны все слагаемыеL(x) ;

2)на (a;b) функцияL(x) имеет производную;

3)L(a)= L(b)= 0 .

Из теоремы Ролля следует, что существует точка x0 (a;b) , в которой

L′(x0 )= 0 .

Следовательно, L′(x0 )= f ′(x0 )- =0

Отсюда f ′(x0 )=  ,b  x0 (a;b) .