Рассмотрим функцию

z = f(x,y), (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z

z = f(x,y)

M y

Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n-мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x² - y². Их уравнения имеют вид x² + y² = 4 – c (c=const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, прис=0 получаем окружность x² + y² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называютповерхностью уровня.

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

53) Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М₀ (х₀ , у₀) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М₀ (х₀ , у₀ , z₀). Для n-мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М₀ множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию

где - координаты точкиМ₀. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f в точкеМ₀, если такое, что | f(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М₀.

Обозначения: .

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М₀, условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М₀. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

1. Покажем, что функция не имеет предела приМ→О(0,0). Действительно, если в качестве линии, по которой точка М приближается к началу координат, выбрать прямую у = х, то на этой прямой . Если же траекторией движения считать прямуюу = 2х, то . Следовательно, предел в точке (0,0) не существует.

2. Найдем повторные пределы функции прих→0, у→0. , . Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим: Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке (0,0) предела в обычном смысле).

Замечание. Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

54) Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Необходимое усло-вие дифференцируемости.

Определение. Если существует , то он называется частной производной (первого порядка) функции по переменной и обозначается

Аналогично определяется частная производная по переменной y: