Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю, .

Доказательство. Пусть – точка максимума. Следовательно, в окрестности точки выполняется неравенство . Тогда если и

Если . По условию теоремы производная функции

существует. Переходя к пределу при , получим , если и , если . Это возможно лишь в случае .

Аналогично можно показать утверждение теоремы если – точка минимума.

Замечание 1. Геометрически утверждение теоремы означает, что в точках экстремума касательные к графику функции параллельны оси (рис. 65). Обратная теорема не верна. Если , то это не всегда означает, что точка – точка экстремума. Действительно, для функции в точке производная , , но точка не является ни минимумом, ни максимумом (рис. 66). Существуют так же функции, которые в точках экстремума не имеют производных. Так функция в точке не имеет производной, но эта точка является ее минимумом (рис. 67).

Достаточное условие экстремума.

Теорема 35. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка есть точка максимума (минимума).

Доказательство. Рассмотрим – окрестность точки . Пусть выполняется условия: , для любого и , для любого . Тогда функция возрастает на интервале

и убывает на интервале . Следовательно, значение функции в точке является наибольшим значением на интервале , т. е. для всех . Это означает, что – точка максимума. Аналогично доказывается случай для точки минимума (рис. 68).

Теорема 36. Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная в точке существует и отлична от нуля , то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум.

Доказательство. Пусть . Так как

то в достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство

Если , то , а если , то .

46) Второй и третий достаточные признаки экстремума.

Если функция дважды дифференцируема и в некоторой точке выполняются условия , а , то в этой точке функция имеет экстремум, причем максимум, если и минимум, если .

Пример 6.5. Найти точку экстремума функции .

Найдем производные ; . Найдем критическую точку первого рода: , , - критическая точка. Вычислим , значит - абсцисса точки минимума. Минимум функции .

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением функции, если этот экстремум – минимум и наибольшим значением функции, если этот экстремум – максимум.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего или наибольшего значения функции, как правило, сводится к нахождению минимума или максимума функции. В таких задачах больший практический интерес представляют не сами максимумы или минимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач главная трудность заключается в составлении функции, описывающей рассматриваемый процесс.

Пример 6.6. Дан квадратный лист жести со стороной а. Какого размера квадраты надо вырезать по его углам, чтобы, загнув края, получить коробку наибольшей вместимости.

Р ешение. Обозначим через сторону квадрата, который надо вырезать. Тогда основанием коробки будет квадрат со стороной . Составим функцию объема коробки , где - высота коробки. Или . Производная этой функции . Найдем критические значения , решив уравнение ,

- не подходит по смыслу задачи;

Проверим характер экстремума при помощи второй производной. Найдем . Подставим . Получим . Так как по смыслу задачи , то . А если , то - сторона квадрата, при которой объем будет максимальным. Выше отмечалось, что если для непрерывной функции экстремум один и он является максимумом, то он и есть наибольшее значение функции.