называется пределом функции в точке , если , то есть , соответствующая последовательность значений , то есть .

Геометрическая интерпретация

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть — определённая на отрезке и дифференцируемая на нём вещественнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где — угол наклона касательной в точкеx_n.

Следовательно искомое выражение для x_n+1 имеет вид:

Итерационный процесс начинается с некоего начального приближения (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).

Эквивалентность определений

Пусть число является пределом функции в точке по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность , , то есть такую, для которой . Покажем, что является пределом по Гейне.

Зададим произвольное и укажем для него такое , что для всех из условия следует неравенство . В силу того, что , для найдётся такой номер , что будет выполняться неравенство , то есть .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что по Гейне, и покажем, что число является пределом функции в точке по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: . В качестве рассмотрим , а соответствующие значения будем обозначать . Тогда при любом выполняются условия и . Отсюда следует, что последовательность является подходящей, но число не является пределом функции в точке . Получили противоречие.

16) Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.

Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) (рис. 1) и правосторонним пределом (пределом справа) (рис. 2).

Рис.1 Рис.2

учебник: В.С. Шипачёв - высшая математика ( у нас есть ) -стр 77,теорема 4.2(сложна)

Теорема (теорема "о двух милиционерах") Пусть даны три функции f₁(x),f₂(x) и ϕ(x) , cвязанные условием Пусть функции f₁(x),f₂(x) имеют общий предел L. Тогда функция ϕ(x) так же имеет предел .

.Два милиционера f₁(x),f₂(x) и ϕ(x) пьяный движутся в участок

Дополнительно:

Ԑ > 0 - произвольное фиксированное число.

выражает ту величину, на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения аргумента ко второму, и называется приращением аргумента.

17)Свойства функций, имеющих конечный предел.

Т.2.1. Если функция в точке имеет предел, то он единственный.

Рассмотрим два свойства функции: о сохранении знака и об ограниченности.

Т.3.1 Если функция имеет конечный предел в некоторой точке, то существует такая - окрестность этой точки, в которой функция будет принимать значения того же знака, что и предел:

.

О.3.1 Функция называется ограниченной на , если существует положительное число , что для всех значений аргумента из этого промежутка выполняется неравенство .

Т.3.2 Если функция имеет конечный предел в , то существует некоторая - окрестность в которой она ограничена (кроме самой может

быть).

Т.3.3 Если функция имеет конечный предел, в некоторой

отличный от нуля, то функция ограничена.

18)Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема об их связи. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Функция y=f(x)называетсябесконечно малой(илибесконечно малой величиной) при , если . Например, б.м. при х→0, т.к.f(x) →0, т.е. .

Аналогично определяется б.м.ф. при х→±∞, + и -.