называется пределом функции
в точке
, если
,
то есть
, соответствующая последовательность значений
, то есть
.
Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть — определённая на отрезке
и дифференцируемая на нём вещественнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
где — угол наклона касательной в точкеxn.
Следовательно искомое выражение для xn+1 имеет вид:
Итерационный процесс начинается с некоего начального приближения (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).
Эквивалентность определений
Пусть число является пределом функции
в точке
по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность
,
, то есть такую, для которой
. Покажем, что
является пределом по Гейне.
Зададим произвольное и укажем для него такое
, что для всех
из условия
следует неравенство
. В силу того, что
, для
найдётся такой номер
, что
будет выполняться неравенство
, то есть
.
Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что по Гейне, и покажем, что число
является пределом функции
в точке
по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: . В качестве
рассмотрим
, а соответствующие значения
будем обозначать
. Тогда при любом
выполняются условия
и
. Отсюда следует, что последовательность
является подходящей, но число
не является пределом функции
в точке
. Получили противоречие.
16) Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) (рис. 1) и правосторонним пределом (пределом справа) (рис. 2).
Рис.1 Рис.2
учебник: В.С. Шипачёв - высшая математика ( у нас есть ) -стр 77,теорема 4.2(сложна)
Теорема (теорема "о двух милиционерах") Пусть даны три функции f1(x),f2(x) и ϕ(x) , cвязанные условием Пусть функции f1(x),f2(x) имеют общий предел L. Тогда функция ϕ(x) так же имеет предел .
.Два милиционера f1(x),f2(x) и ϕ(x) пьяный движутся в участок
Дополнительно:
Ԑ > 0 - произвольное фиксированное число.
выражает ту величину, на которую изменяется аргумент при переходе от первого значения аргумента ко второму, и называется приращением аргумента.
17)Свойства функций, имеющих конечный предел.
Т.2.1. Если функция в точке имеет предел, то он единственный.
Рассмотрим два свойства функции: о сохранении знака и об ограниченности.
Т.3.1 Если функция имеет конечный предел в некоторой точке, то существует такая - окрестность этой точки, в которой функция будет принимать значения того же знака, что и предел:
.
О.3.1 Функция называется ограниченной на
, если существует положительное число
, что для всех значений аргумента из этого промежутка выполняется неравенство
.
Т.3.2 Если функция имеет конечный предел в , то существует некоторая
- окрестность в которой она ограничена (кроме самой
может
быть).
Т.3.3 Если функция имеет конечный предел, в некоторой
отличный от нуля, то функция ограничена.
18)Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема об их связи. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Функция y=f(x)называетсябесконечно малой(илибесконечно малой величиной) при , если
. Например,
б.м. при х→0, т.к.f(x) →0, т.е.
.
Аналогично определяется б.м.ф. при х→±∞, + и
-.
Дата: 2019-02-19, просмотров: 257.