Оценить запас устойчивости системы можно также по ее корневому портрету.

На рис. 3.18 приведены графики переходных процессов двух систем. Видно, что система 2 обладает меньшим запасом устойчи­вости, поскольку склонность к неустойчивости выражается в большой колебательности процессов.

Рис. 70. Примеры процессов в системах с разным запасом устойчивости

В свою очередь, характер процессов в системе определяется ее полюсами (корнями), причем колебания будут возникать, если характеристическое уравнение содержит ком­плексно-сопряженные корни: ,

где вещественная часть ( ) определяет скорость затухания, а мнимая часть корней ( ) - частоту колебаний.

Паре корней с самым «широким» сектором (рис. 70) будет соответствовать составляющая процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки запаса устойчивости можно рассматривать отношение .

Рис. 71. Иллюстрация корневых оценок запаса устойчивости системы.

Отметим, что значение  может меняться в диапазоне от 0 до ¥. Чем меньше  (больше величина мнимой части корня , или меньше вещественная часть), тем ближе будет система к границе устойчивости. В случае, когда , она находится на границе устойчивости При  система будет иметь бесконечный запас устойчивости

Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости m харак­теризует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери системой устойчивости.

Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как ее трудно связать с параметрами реальной системы автома­тического управления (коэффициентом усиления, постоянными времени, коэффициентом демпфирования).

Метод D-разбиения

При создании реальной системы управления бывает необходи­мо знать не только запас устойчивости, который можно оценить с помощью какого-либо критерия, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров системы.

Рассмотрим суть метода D-разбиения по одному параметру , который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

Заменив в этом уравнении  на , получим уравнение

,

Решим его относительно :

.

Получили комплексное представление параметра , что позво­ляет изобразить его в виде вектора на комплексной плоскости. Численное значение частоты определяет положение вектора . При изменении  от  до  конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D-разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее также можно рассматривать как отображение мнимой оси плоскости корней).

Рис. 72. Пример кривой D-разбиения 1-3 – подобласти с различным распреде­лением корней.

Кривая D-разбиения сим­метрична относительно ве­щественной оси (рис. 72), поэтому достаточно постро­ить ее часть, соответствую­щую положительным значе­ниям частоты, а вторую по­ловину получить отображе­нием относительно вещест­венной оси.

Отметим, что эта кривая разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для определения области ус­тойчивости необходимо выбрать по одному значению  в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо крите­рия. Если система устойчива при конкретном , то она будет ус­тойчива и при всех его значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра  фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и т д.), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением  носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается от­резком вещественной оси.

Метод D-разбиения можно применять и для построения области устойчивости по двум параметрам  и , которые входят линейно в характеристическое уравнение

В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид

и распадается на два независимых уравнения

Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разби­ения. Область устойчивости определяется аналогично случаю од­ного параметра .

Рис. 73. Структурная схема системы

Пример.

Определить область устойчивости системы (рис. 73) по коэффициенту усиления.

Определим  передаточную функцию замкнутой системы

и запишем ее характеристическое уравнение

.

Здесь  - параметр, по которому строится область устойчивости, по­этому обозначим его через . Решим характеристическое уравнение относительно  и заменим  на . В результате получим уравнение для кривой D-разбиения:

Вычислим значения вещественной и мнимой частей  при положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

	0	1	2		¥
	-1	0	3		¥
	0	-1	-2		-¥

Рис. 74. Кривая D-разбиения для исследуемой системы

Для построения всей кривой D-разбиения полученную половину  отобразим относительно оси абсцисс (рис. 74).

Как видим, кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две подобласти (1 и 2). Выбираем по одному вещественному значению  в каждой из них и оцениваем устойчивость.

Исследуемая си­стема имеет второй порядок, поэтому необходимым и достаточным условием ее устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область есть область устойчивости ( ), а вторая - неустойчивости.