,

где - постоянные времени,  – коэффициент усиления.

Характеристическое уравнение запишется в виде:

.

Корни этого уравнения  будут комплексными при условии . Если это неравенство не выполняется, корни этого уравнения будут действительными, что соответствует случаю апериодического звена II-го порядка, для которого .

Уравнение установившегося статического режима этого звена имеет тот же вид, что и для усилительного и апериодического звеньев:  

Передаточная функция:  

Частотные характеристики (рис. 30.)

АФХ: ; АЧХ: ;

ФЧХ: .

Рис. 30. Частотные характеристики колебательного звена.

Как видно из формулы для АЧХ при малых значениях , когда , наблюдается некоторое увеличение  по сравнению с апериодическим звеном (показана пунктиром), причем при малых значениях отношения  на графике  появляется максимум, в предельном случае при , на частоте  получается резонансный пик (консервативное звено).

Рис. 31.  Переходные функции колебательного звена: а) – кривая разгона; б) – импульсная переходная функция.

Уравнение кривой разгона в операторной форме имеет вид:

По таблицам оригиналов находим:

По экспериментально снятой кривой разгона (переходной функции) можно найти параметры .

Рис. 32. Логарифмическая характеристика колебательного звена

Асимптотическая л.а.х. представляет собой ломаную линию, состоящую из двух асимптот, к которым стремится л.а.х. при и при . Одна асимптота – линия, параллельная оси абсцисс и отстоящая от нее на расстояние , Другая асимптота имеет наклон -40 дБ/дек. Точка пересечения соответствует частоте .

Уравнение первой асимптоты получается из уравнения для л.а.х.:

.

При , .

Уравнение второй асимптоты соответствует .

.

Из последнего выражения следует, что при увеличении частоты на декаду  снижается на 40 дБ, что и определяет указанный выше наклон – 40дБ/дек.

Введем условное обозначение

При  расхождение между асимптотической и истинной л.а.х. не превышает 3дБ, как и в случае апериодического звена. Поэтому для звеньев с таким значением  можно пользоваться асимптотической л.а.х. Фазовая частотная характеристика представлена ниже, вместе с л.а.х

Примеры колебательного звена: электрический резонансный контур RLC; электрический двигатель при достаточно большой постоянной времени якоря; упругие механические передачи.

4. Статическое звено второго порядка (апериодическое II -го порядка).

Такое звено описывается аналогичным уравнением, как и колебательное, только здесь . Обобщенное уравнение второго порядка имеет вид:

.

Апериодическое звено II-го порядка можно представить как цепочку последовательно соединенных двух звеньев I порядка, с постоянными времени  и  и коэффициентами усиления  и 1.

Общая передаточная функция цепочки будет равна:

.

Следовательно, уравнение звена в операторской форме запишется в виде:

,

откуда получается дифференциальное уравнение:

.

Частотные характеристики апериодического звена II-го порядка (рис. 33):

АФХ: ; АЧХ:

ФЧХ:

Рис. 33. Частотные характеристики апериодического звена II-го порядка

На рис. 33 пунктиром показаны частотные характеристики звена I-го порядка с коэффициентом усиления  и постоянной времени . Как видно из рисунка, добавление другого звена I-го порядка уменьшает значение модуля АФХ и увеличивает отставание по фазе для каждой частоты по сравнению с одноемкостным звеном.

Уравнение кривой разгона (переходной функции) в операторной форме запишется в виде:

.

Оригинал этой функции имеет вид:

, ;  ; .

Рис. 35. Логарифмическая характеристика апериодического звена II-го порядка. ( ; ).

График  представляет собой апериодическую кривую, имеющую точку перегиба и асимптотически стремящуюся к  (рис. 34).

Уравнение импульсной переходной функции получим из формулы для  путем дифференцирования:

Логарифмическая характеристика (рис. 35):

Интегрирующие звенья.