Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.

Рис. 24. Экспериментальное определение частотных характеристик объекта.

Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие: , где  – амплитуда, а  – угловая частота этого воздействия.

По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и вазе, т.е. в установившемся режиме выходная величина звена будет: , где  – амплитуда выходных установившихся колебаний,  – фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

Степень различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний.

Поэтому в качестве динамических характеристик объекта могут быть использованы следующие частотные характеристики:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – ;

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – ;

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – , определяемые по формулам:

- зависимость отношения амплитуды гармонических колебаний на выходе элемента к амплитуде на его входе от частоты.

 - зависимость изменения фазы выходного гармонического колебания по отношению к фазе входного колебания от частоты.

- комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ – аргументом.

Частотные характеристики элемента можно определить экспериментально, подавая на его вход синусоидальный сигнал с различной частотой и регистрируя параметры синусоид на выходе (рис. 24). Можно определить частотные характеристики и по другим динамическим характеристикам элемента, в частности, по его передаточной функции.

Как указывалось выше, оператор , который является аргументом функции , представляет собой комплексное число и может быть представлен в виде , где  – вещественная часть ;  – мнимая часть .

Оператор  может принимать любые значения, т.е. может быть и чисто мнимой величиной. Возьмем значение  и, подставив его в выражение для передаточной функции , получим функцию комплексного переменного :  – т.е. АФХ. Как функция комплексного переменного,  может быть представлена двояко: в полярных координатах  и  или в прямоугольных координатах  и :

, где и  – действительная и мнимая части .

, ,  и  связаны между собой следующими соотношениями:

Рис. 25. Пример построения годографа АФХ.

АФХ  строится в плоскости комплексного переменного и представляет собой годограф вектора, модуль и аргумент которого  и  изменяются в зависимости от частоты (рис. 25).

Пример:

Требуется построить частотные характеристики объекта, передаточная функция которого имеет вид:

Заменив в  на , получим выражение для АФХ:

Модуль и аргумент для  найдем по формулам:

а)                                   б)                                  в)

Рис. 26. Пример построения частотных характеристик а) – АЧХ; б) – ФЧХ; в) – АФХ.

2.8.2.  Логарифмические частотные характеристики:

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики ЛЧХ: логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ)  и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) . Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

На практике удобнее пользоваться десятичными логарифмами:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, т.е. . Величина  откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дБ соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала  пропорциональна квадрату его амплитуды , то изменение сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20 дБ, так как

По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение  в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина  откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы интервала .