«Для архитектуры «форма» — это существительное, для индустрии — глагол, я пытаюсь соединить одно с другим».

Р.Б.Фулер

 В теории формальной композиции выделяются первичные признаки тождественные объективным характеристикам формы и ее элементов. Любою форму характеризует определенное множество первичных признаков. Наиболее значимыми для эмоциональной выразительности формы являются ее размеры и геометрический вид. Вспомогательные признаки корректируют выразительность, к ним относятся ориентация в пространстве, свет, цвет, фактура и членение.

Все эти признаки проявляются не в чистом виде, все они проявляются в самых разнообразных сочетаниях и взаимодействиях, поскольку композиционно-геометрическая структура формы является разновидностью целостной визуальной системы, гештальта. Варьируя сочетания этих признаков, архитектор может значительно изменять эмоциональную выразительность формы. Все вышеозначенные первичные признаки формы – объективны, но в процессе восприятия формы у воспринимающего складывается их субъективная эмоциональная оценка. Такое положение определяется субъективностью природы восприятия вообще, а эмоциональная окрашенность оценки объясняется ассоциативной природой восприятия. Избежать субъективности при этом невозможно. Однако субъективное восприятие возникает под воздействием объективных свойств формы и таких объективных закономерностей восприятия, как соотносительность, целостность, избирательность, ассоциативность, иллюзионность. Изучение объективных первичных признаков формы и их эмоциональной оценки невозможно без изучения закономерностей психологии восприятия.

Как массы, так и пространства внутри них (замкнутые) или вокруг них (частично ограниченные) имеют свои размеры, геометрический вид, цвет, фактуру и т. д.

Размеры, мерность – объективный первичный признак формы. Он оценивается, воспринимающим его человеком, одновременно по абсолютным и относительным критериям. В обоих случаях, в основе оценки лежит сравнение. При абсолютной оценке – сопоставление размеров формы с общепринятыми единицами измерения. При относительной оценке – с величинами различного значения. В случае абсолютной оценки размеров - одномерные формы измеряются длинами; двумерные – площадями; трехмерные – объемами (в 1791 г. метр был определен как одна сорокамиллионная часть меридиана по поверхности земного эллипсоида на долготе Парижа).

Геометрический вид - объективный первичный признак, выражающийся через соотношение основных параметров формы. Геометрическими параметрами формы являются размеры по всем направлениям ее развития; углы между линейными и плоскостными элементами, ограничивающими форму; кривизна границ формы и др. Геометрический вид является одним из важнейших признаков формы и определяет ее характер (шар, куб, конус, параллелепипед, поверхность, линия и т.д.). Вид формы композиционного элемента определяется стереометрическим характером его очертания и соотношением размеров по трем координатам. Формы по характеру стереометрического очертания – морфотипам, условно можно разделить на несколько групп.

1 группа – формы, образованные параллельно-перпендикулярными плоскостями (куб, параллелепипед).

Рис. 22.  Квадрат диагонали d параллепипеда равен сумме квадратов ребер параллелепипеда a,b,с.

Подавляющее число архитектурных форм прошлого и современности, особенно, жилого строительства, в основе являются параллелепипедами, т.к. формы этого геометрического вида легко упаковываются друг с другом, экономно расходуя пространство и площадь. Вертикали стен конструктивно работают против силы тяжести, а прямоугольные планировки удобны функционально. Человеку удобны горизонтальные полы. Прямоугольные и параллелепипедообразные формы зародились в эпоху протогородов, в неолит пришли на смену круглым формам каменного строительства. Неслучайно, К. Малевич положил квадрат и параллелепипед в основу супрематического ордера и проунов (проектов утверждения нового).

 2 группа - формы, составленные плоскостями и имеющие неперпендикулярные грани (пирамиды, призмы, многогранники).

Таблица 2.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, выпуклые многогранники, все грани и углы которых равные правильные многоугольники.

Рис. 23а. Призмы.	Рис.23б. Антипризмы.

Равные многогранные углы и правильные грани нескольких типов имеют тела из двух бесконечных семейств - призмы и антипризмы (последние также называют скошенными призмами).

Формы, на основе правильных многогранников и призм активно применялись в архитектуре на протяжении тысяч лет.

Рис. 24а. Идеальный город эпохи Возрождения.	Рис. 24б. Вид сбоку, план, монтаж жилого дома «Димаксион» 1940 е гг. XX века.		Рис. 24в. Эскиз жилья «Димаксион» на 20 рабочих для русского колхоза, 1931 год.

Примером здания на основе многогранной призмы в 1940-х годах стал дом из серии «Димаксион» Р.Б. Фуллера. Здание обеспечивало комфорт, оставаясь изолированным от внешних источников энергии и опасностей внешней среды. Основная часть требований была решена за счёт конфигурации здания: по форме походило на юрту. Каркас пола, сделанный из спиц наподобие велосипедного колеса укреплен  на вертикальной оси над землей. Дом был неподвижной конструкцией, вращалась только ветряная турбина на крыше - источник энергии. Образец был построен в 1946 году в Уичито,  Канзас, но автор наотрез отказался от массового производства, хотя один экземпляр стоил бы как автомобиль. В 1998 году в музее Генри Форда в штате Мичиган постоянное место заняла копия дома Dymaxion Фуллера. Небольшой вес домов Фуллера стал легендой. Когда он познакомился в 1970-е годы с Н. Фостером, то спросил: «Сколько весят ваши дома?»

Рис.254а. Семейство архимедовых тел: полуправильных выпуклых многогранники (родственны платоновым телам архимедовы тела)	Рис.25б. Правильные однородные звездчатые звездчатые многогранники тела Кеплера-Пуансо
Рис. 26в. Правильный неоднородный выпуклый многогранник в качестве малой архитектурной формы: преобразованный архимедов усеченный кубооктаэдр.	Рис. 26г. Мозаика в соборе Св. Марка в Венеции, иногда приписывается Раоло Уччелло.

Существует 13 или 14 архимедовых тел (псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству). У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Платоновым телам близки тела Кеплера-Пуансо, или правильные однородные невыпуклые многогранники.

У правильных многогранников все грани — равные правильные мно­гоугольники, и все многогранные углы равны. У полуправильных многогран­ников многогранные углы тоже равны, грани являются правильными не равными многоугольниками. Пер­вые 5 тел получаются из правильных многогранни­ков отсечением плоскостями углов многогранника: усеченный тет­раэдр, усеченный икосаэдр и т.д. Дру­гие тела Архимеда носят более слож­ные названия: кубооктаэдр , икосо-додекаэдр , усеченный кубооктаэдр , усеченный икосододэкаэдр , ромбокубооктаэдр , ромбоикосодо-дэкаэдр , «курносый куб» , «курносый додэкаэдр» .

Рис.27. Структуры решеток кристаллов, схожие со структурами полуправильных выпуклых многогранников: «природа не пользуется декартовой системой координат.

Широкому внедрению в архитектуру выпуклые многогранники обязаны Р.Б. Фулеру, называвшему свои изобретения артефактами,  явлениями "второй природы".
Самый известный его "артефакт" - геодезический купол (Geodesic Dome). - это сфера или ее сегмент с несущей конструкцией, образованной решеткой из треугольных (или, в более общем случае, многоугольных) элементов. Такая структура позволяет перекрыть огромные площади без использования внутренних опор, обеспечивает максимальную прочность и жесткость при минимальных материальных затратах, причем с увеличением размера сооружения удельные затраты сокращаются.
В настоящее время в мире сооружено более трехсот тысяч "геодезических куполов", не считая игровых конструкций, которые можно часто видеть на детских площадках. К числу наиболее знаменитых относятся купол, установленный на Южном полюсе, великолепный "Золотой купол" Американской выставки в Сокольниках в Москве в 1959 году, ажурный павильон США на Всемирной выставке в Монреале 1967 года высотой более 60 метров и диаметром 75 метров.
Один из проектов Фуллера предусматривал перекрытие огромным куполом всего "даунтауна" нью-йоркского Манхеттена; по прикидкам, стоимость сооружения купола должна была окупиться за несколько лет только за счет сокращения затрат на уборку снега.

"Геодезические купола" достаточно дешевы, легки в сборке, на практике доказали способность выдерживать порывы ураганного ветра скоростью до 210 миль в час, в собранном виде легко перебрасываются по воздуху; их охотно используют в труднодоступных районах. По мнению многих ученых, первые складские и жилые сооружения на поверхности Луны, Марса должны будут сооружаться именно в виде "геодезических куполов". Принцип "геодезического купола" широко используется в современной архитектуре. Прямые цитаты из Фуллера можно найти во многих наимоднейших проектах, в т.ч. в проектах Н. Фостера, сотрудичавшего с Фулером.

Идея "геодезических куполов" явилась результатом интереса Фуллера к картографии, переносу контуров с элипсоидальной поверхности глобуса на плоскость карты с минимальными искажениями. В 1942 г. Фуллер получил первый в истории патент на способ переноса с минимальными искажениями полного изображения с шаровидной поверхности на плоскость.

Идея оказалась в такой степени классически простой, что могла быть предложена в эпоху Возрождения: глобус представал в виде правильного многогранника, одного из пяти платоновских простых тел, а именно в виде икосаэдра, то есть двадцатигранника с гранями в виде правильных, равносторонних треугольников. Эти грани затем разворачиваются на плоскости, давая изображение всей поверхности в целом. Недостатком изображения является невозможность наложить на него привычную координационную сетку; геодезические линии кратчайшего расстояния между точками на поверхности превращаются в ломаные, искажаясь. Поэтому столь невелика была вероятность изобретения подобной картографической проекции в прошлом, когда от карты требовалась в первую очередь возможность ее использования для конкретных задач навигации - на море, на суше или в воздухе. Проекция Фуллера преследует иные цели - она дает возможность "глобального" обозрения поверхности Земли с близким к истинному изображением архипелага суши, позволяет лучше представить глобальную циркуляцию океанских и воздушных течений. Именно такое изображение Земли позволило Фуллеру сформировать, а затем и обосновать гипотезу о вероятных кругосветных путешествиях древних, корабли которых подгонялись морскими и воздушными течениями.
Вслед за Платоном и Эйлером Фуллер увлекся общей теорией многогранников. Результатом этой работы явилось появление своего рода их "периодической таблицы". Через теорию многогранников Фуллер, в частности, обосновывал и периодичность таблицы элементов Менделеева, связывая ее "восьмеричную" структуру с октаэдром и его производными формами.

Рис.28а. Купол «Климатрон» в Сент-Луисе в Миссури, 1960 год.	Рис.28б. Геодезический купол на Голливудских холмах - повторение купола, построенного в Монреале в 1950 году.
Рис.28в. Аллотропные формы углерода: a: алмаз, b: графит, c: лонсдейлит d: фуллерен — бакибол C60, e: фуллерен C540, f: фуллерен C70 g: аморфный углерод, h: углеродная нанотрубка.	Рис.28г. Биосфера Фуллера (Павильон США на Экспо-67, ныне музей «Биосфера» в Монреале, Канада) Климатрон" (оранжерея) в Ботаническом саду Сент-Луиса (штат Миссури, США)

Ричард Бакминстер (Баки) Фуллер - философ, математик, инженер, историк и поэт (дважды отчисленный из Гарварда "за недостаточную тягу к знаниям") изобрел и запатентовал геодезический купол в 1951 году. Предвидя строительный бум, и истощение земных ресурсов по причине увеличения популяции Землян он изобретал пути достижения наибольших результатов, с наименьшими затратами труда и материалов. Фуллер утверждал, что открытая им модель показывает механизмы работы самой природы, которая не пользуется декартовой системой координат, и предложенная им модель может быть моделью расположения атомов в молекуле, которые не вращаются вокруг центра равномерно, а совершают квантовые скачки от одной вершины многогранника к другой. Он оказался отчасти прав: в 1985 г., через два года после смерти Фуллера, ученые Р. Кёрл, Х. Крото и Р. Смоли действительно открыли молекулу углерода предсказанного Фуллером строения. Молекулу назвали фуллерен в его честь, а открывшие ее исследователи в 1996 году получили Нобелевскую премию по химии.

Запатентовав геодезические купола, Фуллер стал продавать лицензии на строительство за 5%, за 30 лет в мире было выстроено около 50 тыс. куполов. Став в конце 60-х наставником новых поколенийон вошел в историю как гуру хай-тека. Ренцо Пиано, автор Центра Помпиду, испытал сильнейшее влияние Фуллера, особенно заметное в ранних его работах, где мысль, фонтанирующая необычными идеями, подчиняет себе инженерные расчеты. Около 15 лет работал вместе с Фуллером Норман Фостер, один из видных архитекторов наших дней.
Еще одним важным вкладом Фуллера в архитектуру и строительство явилась теория так называемых тенсегритных структур. В их основу заложено понятие, которое может быть приблизительно переведено как "напряженная целостность", когда элементы, подверженные сжатию, не соприкасаясь, формируют общую структуру, соединенные между собой тонкими растяжками, которые несут стягивающие "синтропические" (направленные внутрь) силы. На этом принципе Фуллером был разработан проект телетрансляционной башни высотой 3736 метров для японской телевизионной компании - выше горы Фудзияма (высота существующих телебашен не превышает 600 метров).
"Геодезические купола" и "тенсегритные конструкции" явились частным случаем применения геометрической теории многогранников, которые были любимым объектом исследований Фуллера. 

2 группа - включает все тела вращения и формы, образованные криволинейными поверхностями (шар, цилиндр, конус, формы с параболическими и гиперболическими поверхностями и т.д., см. таб. 3).

Примерами использования геометрических тел этой группы в архитектуре являются работы инженеров Владимира Шухова и Бакминстера Фуллера, Фрай Отто, С. Калатравы, З. Хадид.

Таблица 3.

Эллипсоид	Эллиптический параболоид
Конус второй степени	Гиперболический параболоид
Однополостный гиперболоид	Эллиптический цилиндр
Двуполостный гиперболоид	Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр

Рис.29.. Пример использования геометрических тел 3 группы в архитектуре – Башня на Шаболовке по проекту инженера Владимира Шухова.

 Башня для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенная по проекту русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова, состоит из звеньев - гиперболоидов вращения. Каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности.

Рис.30а. Дом Димаксион закончен в 1929 г. и был пересмотрен в 1945 г., хотя разработки начались в 1927 г.
Рис.31б. Тор - поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости окружности, но не проходящей через ее центр. Ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем - открытым, или кольцом.		Рис.31в. Тор (тороид) образуется магнитными линиями Земли, которая, в свою очередь является эллипсоидом.
Рис. 32. Геометрический вид структур, возникших в результате падения на Луну астероида, близок в эллипсу: природоподобной структуре.
Ударный кратер на территории Моря Дождей на Луне, включающий первичные (исходящие от кратера) и вторичные канавы. D территории кратера и канав достигает 1250 км, d  столкнувшегося с Луной объекта - 80 км. Геофизики полагают, что на ранних этапах развития Солнечной системы окрестности Венеры, Земли и Марса содержали множество протопланет (крупных астероидов).

 4 группа – бесчисленное количество сложных стереометрических фигур, имеющих прямолинейные и криволинейные поверхности.

Рис. 33. Поверхности вращения третьего и более порядка: зачастую симметрия касается только отдельных частей: начинает активно проявляться свойство нелинейности уравнений таких поверхностей.

Поверхности такого порядка используют в архитектуре З. Хадид и Френк Гери, хотя поверхности архитектурных форм Гери не генерируются, а только просчитываются дигитально, их конфигурация задается параметрически.

Архитектурная математикаВ Лондоне, Англия, открыла двери для посетителей Галерея Уинтон: Математика, являющаяся частью Музея науки. Это первый на территории Великобритании проект, осуществлённый студией Zaha Hadid Architects после смерти главы компании. Сама Заха Хадид до начала своей архитектурной карьеры изучала математику в Американском университете Бейрута. Поэтому не случайно работы её фирмы отличаются сильными геометрическими формами, основанными на глубоком понимании математических законов.

«Когда я росла в Ираке, математика была для меня частью повседневной жизни. Мы играли с математическими задачами так же, как мы играли с ручками и бумагой, когда рисовали. Математика была как рисование», — рассказывала Хадид о своём детстве. Так же и куратор галереи Дэвид Руни стремился представить математику не как академическую дисциплину, но как практику, влияющую на окружающую нас технику и трансформирующую жизненную среду человека. Текучие поверхности, формирующие пространство галереи, визуализируют аэродинамическое турбулентное векторное поле, создаваемое самолётом, помещённым в центр экспозиции. Аэроплан авиаконструктора Хэндли Пейджа, отличившийся в конкурсе 1929 года Guggenheim Safe Aircraft Competition, стал знаковой вехой в развитии гражданского воздухоплавания, сделав этот вид транспорта доступным для простых людей. Среди экспонатов также представлены исламская астролябия XVII века, машина Энигма и ранний образец системы искусственного интеллекта — всего более 100 исторических объектов. Само пространство галереи, его наполнение, включая произведённые с помощью роботов крепкие арочные скамьи — всё воплощает математический дух. Полученный в результате посещения выставки опыт позволяет людям увидеть лишь некоторые из множества реальных и осязаемых способов, которыми математика соприкасается с нашей жизнью. https://udivitelnoe.temaretik.com/1075857306419202584/arhitekturnaya-matematika/

Хотя сложные криволинейные поверхности использовали исторические стихи барокко и рококо, однако это были поверхности архитектурных деталей, которые моделировались в скульптурной пластике в масштабе 1:1,  а затем отливались или изготавливались в мраморе, конфигурация поверхности переносилась по точкам, методом триангуляции.

Огромный вклад в архитектурное формообразование внес русский инженер Владимир Шухов - создатель сетчатых мембран – перекрытий (см. рис 34).

Рис.34. Первая в мире стальная мембрана-перекрытие: ротонда по проекту инженера Владимира Григорьевича Шухова на Всероссийской промышленной и художественной выставки 1896 года в Нижнем Новгороде
Рис.35. Моделирование форм и структур «тенсегрити», по Б. Фулеру.

В архитектурной деятельности наиболее употребительна первая группа фигур – кубы и параллелепипеды.

Каменное строительство и протоархитектура зародились в неолите, при переходе к оседлому земледельческому образу жизни в VII-VI тыс. до н.э.. Первые сооружения жилого и культово-астрономического из мелкоразмерного камня имели форму, близкую к круглой (Руджим эль Хири и др.), планировки поселений -  нерегулярную структуру, базирующуюся на центрической радиальной (эль Хири) либо свободной композиции близких к окружностям структур (Хирокития, таб.4).

Возросшая плотность поселений и потребность деления круга на сектора для получения плотных «упаковок» пространства определила эмпирический процесс приближения к прямому углу в отдельных сооружениях (пос. на Оркнейских о., таб 4.), а затем и его преобладание в структуре протогородов (Чатал Куюк- таб.4).

Таблица.4. Геометрия архитектуры неолита.

Неолит. Хирокития. Кипр. VII-VI тыс. до нашей эры: постройки поселения не имеют ни одного прямого угла.	Шотландский остров Мейнленд. В западной части острова памятники неолита Оркнейских островов: руины, включающие погребальную камеру и хорошо сохранившееся поселение эпохи неолита : план поселения в основе круг, разделенный «секторами».	Чатал-Гуюк крупнейшее поселение эпохи керамического неолита и энеолита в Гамирке. Культурные слои  7400 г. до н. э. - 5600 г. до н. э. Жители покинули поселение до наступления Бронзового века: упаковка из прямоугольных домов без улиц.

Прямоугольные структуры обладают следующими уникальными для применения в архитектуре свойствами (рис.35):

- прямоугольные структуры наиболее удобны для организации жизненных процессов и ориентации человека в пространстве;

- прямоугольные элементы легко объединяются в группы;

- внутреннее пространство ортогональных форм нетрудно разделить на подобные им пространства меньших размеров;

-вертикальные и горизонтальные плоскости таких форм соответствуют наиболее развитой стоечно-балочной конструктивной системе. 

Формы других стереометрических тел весьма трудно сочетаются между собой.

Их применение эффективно лишь в особых случаях, при создании формы крупных единичных объектов.