Пусть функция задана множеством своих значений для дискретного набора точек

– табличные аргументы,  – табличные значения функции ( ).

                                                                                                    (2.19.1)

Для восполнения исходных табличных функций искомыми функциями, как правило, используются алгебраические многочлены. Задача полиномиального интерполирования всегда имеет решение. Для оценки погрешности найдем остаточный член .

Если  раз дифференцируема на  и содержит узлы интерполирования , , …, , то  существует такая , что выполняется

где .

Оценка интерполяции:

,                                             (2.19.2)

где .

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть исходная сеточная функция  задана в  узлах  в общем случае не равностоящих. Тогда многочлен Лагранжа имеет вид:

.

Найдем коэффициенты .

,

.                                                      (2.19.3)

Пример 2.2.19.1. Заданы значения функции таблично, построить полином Лагранжа и найти значения функции в точке ,

	1	4	5	10
	10	6	0	1

Решение.

Полином Лагранжа: , найдем коэффициенты

.

Интерполяционный многочлен Ньютона на неравномерной сетке

Известны значения функции  для неравноотстоящих значений аргументов  , тогда для построения полинома Ньютона применяются разделенные разности.

Разделенные разности первого порядка:

,                .

По разделенным разностям первого порядка определяются разделенные разности второго порядка:

, .

В общем случае разделенные разности порядка n выражаются через функцию:

.

Разделенные разности являются симметрической функцией своих аргументов.

Пусть исходная сеточная функция  задана на неравномерной сетке  c шагом . Тогда для функциональной интерполяции может быть использован многочлен Ньютона, основанный на разделенных разностях:

Пример 2.2.19.2. Заданы значения функции таблично, построить полином Лагранжа и найти значения функции в точке ,

	–2	–1	0	2
	–1	0	1	8

Решение.

Полином Ньютона:

Найдем разделенные разности:

,

,

,

,

,

,

.

Метод наименьших квадратов

Задана таблица значений аргументов  и соответствующих значений функции .

На практике удобно представить искомую зависимость в виде многочлена, линейной комбинации некоторых базисных функций:

                                       (2.20.1)

где  – неизвестные коэффициенты,  – заданная система базисных функций. В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенные функции, полиномы Чебышева, тригонометрические функции .

Условия согласования метода сглаживания – метод наименьших квадратов:

.                                      (2.20.2)

Отметим отличительные особенности решения задачи сглаживания методом наименьших квадратов:

1. Метод наименьших квадратов требует выполнения условия соответствия  и  в среднем.

2. Количество точек , в которых задана исходная функция, значительно больше, чем степень многочлена.