Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Перед исключением отыскивается по . Допустим, максимум соответствует . Тогда первое уравнение в исходной системе меняем местами с уравнением. После этого осуществляем первый шаг исключения. Затем перед исключением из оставшихся уравнений отыскиваем , где , осуществляется соответствующая перестановка уравнений.

Можно показать, что условие диагонального преобладания остается справедливым после каждого шага исключений в процессе приведения матрицы к треугольному виду, т.е.

, для всех . (2.17.5)

Это означает, что перед каждым исключением очередной неизвестной главный элемент будет находиться в «нужной позиции».

Рассмотренные модификации метода Гаусса позволяют, как правило, существенно уменьшить влияние погрешности округления на результаты расчетов.

Пример 2.2.17.1. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцам решить систему:

Решение.

1. Прямой ход. Реализуем поиск ведущего элемента по правилу: на -м шаге переставляются оставшихся уравнений так, чтобы наибольший по модулю коэффициент при попал на главную диагональ:

2. Обратный ход. По матрице составим систему уравнений:

или

Решая ее, последовательно получаем: , , .

Метод простой итерации

Для решения систему линейных уравнений приводим к каноническому виду:

(2.17.6)

Выразим :

Таким образом, получим , где

, , _.(2.17.7)

Итерационный процесс запишется виде:

. (2.17.8)

Начальное приближение выбирается произвольно, но требуется выполнение условия сходимости, норма матрицы . Сходящийся процесс обладает свойством самоисправляемости. Условие сходимости выполняется, если в матрице диагональные элементы преобладают. Иначе модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении системы больше суммы модулей недиагональных коэффициентов. Чем меньше величина нормы матрицы , тем быстрее сходится метод.

Для того чтобы данный процесс сходился, необходимо, чтобы норма матрицы была меньше 1 или выполнялись следующие условия:

(2.17.9)

Тогда справедливы оценки скорости сходимости:

. (2.17.10)

Методика решения систем линейных уравнений
методом простой итерации

1. Преобразовать систему к виду .

2. Проверить условие сходимости . Задать начальное приближение и точность . Положить .

3. Вычислить приближение по формуле .

4. Если выполнено условие , то процесс завершить и положить , иначе перейти к пункту 3.

Пример 2.2.17.2. Для системы линейных алгебраических уравнений построить сходящийся итерационный процесс:

Решение.

Матрица этой системы не имеет диагонального преобладания.

, , .

Достаточное условие сходимости метода простых итераций выполняется. Поэтому сначала проведем преобразование.

Возьмем

, тогда

Видно, что норма разности между двумя последовательными приближениями с увеличением номера итерации уменьшается, что характеризует сходящийся процесс (этот вывод относится ко всем приведенным примерам). Видно также, что, начиная со 2-й итерации, с увеличением увеличиваются и уменьшаются соответственно, и они стремятся к верному (точному) решению: .

2.2.18 Нахождение наибольшего по модулю
собственного числа матрицы

Корни характеристического уравнения являются собственными значениями матрицы .

Пусть наибольший по модулю. Матрица с действительными и положительными коэффициентами имеем наибольшее действительное собственное значение.

В качестве начального собственного вектора возьмем произвольный вектор . Тогда назовем итерацией вектора , которая образуется путем перемножения , , …, ;