Метод позволяет свести решение нелинейных уравнений к решению последовательности линейных задач. Метод быстро сходится. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на характер функций :

1. существование второй производной функции  на множестве ;

2. удовлетворения первой производной условию  для всех  принадлежащих ;

3. знакопостоянство ,  и  для всех , принадлежащих .

Пусть действительный корень уравнения  отделен на отрезке . Возьмем на отрезке  такое число , при котором  имеет тот же знак, что и . 

Итерационная последовательность строится:

                                                             (2.16.1)

Предполагается, что .

Методика решения нелинейных уравнений методом Ньютона

1. Задать начальные приближения  так, чтобы выполнялось неравенство , а также малое положительное число . Положить .

2. Вычислить  по методу Ньютона: .

3. Процесс завершить если  тогда корень , иначе  и перейти к пункту 2.

Пример 2.2.16.5. Методом Ньютона найти положительный корень уравнения  с точностью до 0,001. Положительный корень заключен в промежутке , так как , а .

Решение.

Здесь ,

,

.

Так как  и  при =1,7 имеют один и тот же знак, а именно   и , тогда

, где ,

.

Проверить условие завершения процесса итераций:

.

Применим снова метод Ньютона.

Имеем , где , ; значит, .

.

Аналогичным образом находим ; , .

.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,6429.

Метод итераций

Если данное уравнение  приведено к виду , где  всюду на отрезке , на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения , принадлежащего отрезку , можно построить такую последовательность:

.

Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения  на отрезке .

Методика решения нелинейных уравнений методом простой итерации

1. Уравнение f( x)=0 привести к каноническому виду . Задать начальное приближение , ,  – погрешность. Для сходимости нужно обеспечить выполнение условия , .

2. Вычислить следующее приближение по методу простой итерации:

3. Итерационный процесс завершаются если , тогда ,

иначе  и перейти к 2.

Пример 2.2.16.6. Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения  с точностью до 0,001, корень уравнения отделен на отрезке .

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде .

Здесь , , то  в промежутке  и поэтому метод итераций применим при начальном приближении . Найдем теперь первое приближенное значение:

.

.

Найдем второе и последующие приближения:

;

Проверим погрешность

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

;

Таким образом, искомый корень .