Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией
, имеющей на
непрерывную производную. Рассмотрим формулу для вычисления
– площади поверхности вращения кривой
вокруг оси
в трехмерном пространстве.
Теорема. Для величины справедлива следующая формула:
.
Пример 2.1.7.1. Найти площадь поверхности «веретена», которое получается в результате вращения одной полуволны синусоиды вокруг оси
.
Решение.
.
Пример 2.1.7.2. Найти площадь поверхности,
образованной вращением одной арки циклоиды
вокруг оси
.
Решение.
Поскольку арка циклоиды симметрична относительно прямой , рассчитаем половину площади поверхности в пределах
, что соответствует
.
.
Выполним замену , тогда
,
.
.
Вся площадь поверхности составляет .
Пример 2.1.7.3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение.
;
Выполним замену , тогда,
.
.
Понятие компакта
Компакты
Определение. Множество
называется компактным множеством (компактом), если из любой последовательности точек этого множества можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества
.
Теорема (критерий компактности). Множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Определение. Пусть нам дан набор множеств ,
(
называется индексным множеством). Совокупность индексированных множеств
называется семейством.
Определение. Пусть дано множество и семейство множеств
. Семейство множеств
называется покрытием множества
, если
содержится в объединении всех множеств рассматриваемого семейства
.
Определение. Говорят, что – открытое покрытие множества
, если:
1. – покрытие
,
2. каждое – открытое множество.
Определение. Покрытие называется подпокрытием покрытия
, если любой элемент покрытия
является элементом покрытия
, то есть для всех
существует такое
, что
.
Теорема Бореля. Множество – компакт тогда и только тогда, когда из любого открытого покрытия множества
можно извлечь конечное подпокрытие.
Пример 2.1.8.1. Показать, что отрезок является компактным множеством в этом пространстве.
Решение.
Поскольку отрезок является ограниченным множеством, следовательно, из любой последовательности его элементов можно извлечь подпоследовательность, которая имеет конечный предел (теорема Больцано-Вейерштрасса). В силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. [17] гл. 2 теорема 1.3), предел такой последовательности принадлежит отрезку
. Таким образом, по определению промежуток
является компактным множеством.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 358.