Рассмотрим числовую функцию , заданную на отрезке . Будем говорить, что она непрерывна на этом отрезке, если она непрерывна в каждой точке из области определения (на концах отрезка требуется односторонняя непрерывность).
Отметим некоторые специфические свойства непрерывных функций на отрезке.
Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на нем, т.е. существуют точки и на отрезке такие, что для любого справедливо неравенство .
Пример 2.1.1.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение.
Так как , то критическими точками функции являются и . Сравниваем значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного отрезка:
; ; ; .
Отсюда наименьшее значение функции достигается в точке (в точке минимума), а наибольшее достигается в точке (на правом конце отрезка).
Теоремы Роля, Лагранжа
Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале и принимает равные значения на его концах . Тогда на интервале существует, по крайней мере, одна точка , в которой производная зануляется .
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Действительно, есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки и , а – тангенс угла наклона касательной в точке , следовательно, рассматриваемые секущая и касательная параллельны.
Пример 2.1.2.1. Показать, что функция на отрезках и удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения .
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений ; кроме того, . Следовательно, теорема Ролля применима на отрезках и . Для нахождения числа составляем уравнение: . Отсюда причем ; .
Пример 2.1.2.2. Проверить выполнение теоремы Лагранжа для функции на отрезке и найти соответствующее промежуточное значение .
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формуле Лагранжа имеем, т. е. .
Следовательно, и ; подходит только значение , для которого справедливо неравенство .
Теоремы Коши, Ферма
Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют производные и на интервале одновременно не обращающиеся в , . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .
Теорема Ферма. Пусть функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная, тогда .
Пример 2.1.3.1. Для функции и проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке и найти .
Решение.
Проверим выполнение условий теоремы Коши. Функции и непрерывны на отрезке и при имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем .
Тогда по теореме Коши
или . Отсюда , где .
Пример 2.1.3.2. Для функции проверить выполнение условий теоремы Ферма.
Решение.
Очевидно, функция имеет минимум в точке . Так как , то , как и утверждает теорема Ферма.
Формула Тейлора
Основным свойством дифференциального исчисления является формула Тейлора, позволяющая приближать функции специальными многочленами в окрестности некоторой точки. Мы рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (глобальная формула Тейлора) и с остаточным членом в форме Пеано (локальная формула Тейлора).
Пусть функция в некотором интервале имеет производных, тогда для любой точки можно написать многочлен Тейлора
.
Разность называется остаточным членом формулы Тейлора, это выражение может быть преобразовано различными способами, которые приводят к разным формам остаточного члена.
Теорема (остаточный член в форме Пеано). Пусть функция в некотором интервале имеет непрерывных производных, тогда для любой точки при имеет место равенство:
.
Теорема (остаточный член в форме Лагранжа). Пусть функция в некотором интервале , содержащем точку , имеет производных, а во всех точках этого интервала, кроме, быть может, точки , имеет -ю производную; тогда для любого , существует , находящееся между и , для которой выполнено равенство:
.
Заметим, что при последняя теорема превращается в теорему Лагранжа.
Формулу Тейлора в точке обычно называют формулой Маклорена. В этом случае удобно положить , т.е. .
Пример 2.1.4.1. Разложить по формуле Маклорена функцию .
Решение.
,
,
…
.
Тогда , и так как , то , .
Пример 2.1.4.2. Функцию разложить по степеням бинома до члена, содержащего .
Решение.
для всех , . Следовательно,
, где , .
Длина гладкой кривой
Рассмотрим некоторую функцию . Для фиксированного значения – есть некоторая точка в . Такую функцию называют параметрическим представлением кривой в пространстве (роль параметра играет переменная ). Кривая называется непрерывной (соответственно гладкой), если все функции являются непрерывными (соответственно непрерывно дифференцируемыми). Пусть – некоторое разбиение отрезка ; рассмотрим точки и ломаную , которая получается последовательным соединением точек и прямолинейными отрезками. Такие ломаные называют вписанными в кривую . Пусть – длина ломаной .
Кривая называется спрямляемой, если конечна величина , где верхняя грань берется по всем вписанным в ломаным. За значение длины кривой как раз и принимают указанную величину.
Оказывается, что для гладких кривых существует достаточно простой способ вычисления длинны .
Теорема: Гладкая кривая является спрямляемой, причем для ее длины справедлива следующая формула:
.
Пример 2.1.5.1. Найти длину астроиды .
Решение.
Дифференцируя уравнение астроиды, получим , отсюда .
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:
.
Отсюда
Пример 2.1.5.2. Найти длину одной арки циклоиды
Решение.
Имеем и . Поэтому
.
Пределы интегрирования и соответствуют крайними точкам арки циклоиды.
Пример 2.1.5.3. Найти всю длину кардиоиды .
Решение.
В силу симметрии кривой найдем сначала половину длины. Поскольку , получим:
.
Отсюда .
Объем тела вращения
Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией . Рассмотрим формулу для вычисления – объема тела вращения, ограниченного плоскостями и и поверхностью вращения кривой вокруг оси в трехмерном пространстве.
Теорема. Для величины справедлива следующая формула:
.
Пример 2.1.6.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .
Решение.
.
Пример 2.1.6.2. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси вокруг оси .
Решение.
Воспользуемся формулой . Тогда
.
Пример 2.1.6.3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси одной арки циклоиды , .
Решение:
.
Пример 2.1.6.4. Определить объем, образованный вращением кривой вокруг полярной оси.
Решение.
Воспользуемся формулой .
.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 294.