Функции, непрерывные на отрезке

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Рассмотрим числовую функцию , заданную на отрезке . Будем говорить, что она непрерывна на этом отрезке, если она непрерывна в каждой точке из области определения (на концах отрезка требуется односторонняя непрерывность).

Отметим некоторые специфические свойства непрерывных функций на отрезке.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на нем, т.е. существуют точки и на отрезке такие, что для любого справедливо неравенство .

Пример 2.1.1.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

Так как , то критическими точками функции являются и . Сравниваем значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного отрезка:

; ; ; .

Отсюда наименьшее значение функции достигается в точке (в точке минимума), а наибольшее достигается в точке (на правом конце отрезка).

Теоремы Роля, Лагранжа

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале и принимает равные значения на его концах . Тогда на интервале существует, по крайней мере, одна точка , в которой производная зануляется .

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Действительно, есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки и , а – тангенс угла наклона касательной в точке , следовательно, рассматриваемые секущая и касательная параллельны.

Пример 2.1.2.1. Показать, что функция на отрезках и удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений ; кроме того, . Следовательно, теорема Ролля применима на отрезках и . Для нахождения числа составляем уравнение: . Отсюда причем ; .

Пример 2.1.2.2. Проверить выполнение теоремы Лагранжа для функции на отрезке и найти соответствующее промежуточное значение .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формуле Лагранжа имеем, т. е. .

Следовательно, и ; подходит только значение , для которого справедливо неравенство .

Теоремы Коши, Ферма

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют производные и на интервале одновременно не обращающиеся в , . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .

Теорема Ферма. Пусть функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная, тогда .

Пример 2.1.3.1. Для функции и проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке и найти .

Решение.

Проверим выполнение условий теоремы Коши. Функции и непрерывны на отрезке и при имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем .

Тогда по теореме Коши

или . Отсюда , где .

Пример 2.1.3.2. Для функции проверить выполнение условий теоремы Ферма.

Решение.

Очевидно, функция имеет минимум в точке . Так как , то , как и утверждает теорема Ферма.

Формула Тейлора

Основным свойством дифференциального исчисления является формула Тейлора, позволяющая приближать функции специальными многочленами в окрестности некоторой точки. Мы рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (глобальная формула Тейлора) и с остаточным членом в форме Пеано (локальная формула Тейлора).

Пусть функция в некотором интервале имеет производных, тогда для любой точки можно написать многочлен Тейлора

Разность называется остаточным членом формулы Тейлора, это выражение может быть преобразовано различными способами, которые приводят к разным формам остаточного члена.

Теорема (остаточный член в форме Пеано). Пусть функция в некотором интервале имеет непрерывных производных, тогда для любой точки при имеет место равенство:

Теорема (остаточный член в форме Лагранжа). Пусть функция в некотором интервале , содержащем точку , имеет производных, а во всех точках этого интервала, кроме, быть может, точки , имеет -ю производную; тогда для любого , существует , находящееся между и , для которой выполнено равенство:

Заметим, что при последняя теорема превращается в теорему Лагранжа.

Формулу Тейлора в точке обычно называют формулой Маклорена. В этом случае удобно положить , т.е. .

Пример 2.1.4.1. Разложить по формуле Маклорена функцию .

Решение.

…

Тогда , и так как , то , .

Пример 2.1.4.2. Функцию разложить по степеням бинома до члена, содержащего .

Решение.

для всех , . Следовательно,

, где , .

Длина гладкой кривой

Рассмотрим некоторую функцию . Для фиксированного значения – есть некоторая точка в . Такую функцию называют параметрическим представлением кривой в пространстве (роль параметра играет переменная ). Кривая называется непрерывной (соответственно гладкой), если все функции являются непрерывными (соответственно непрерывно дифференцируемыми). Пусть – некоторое разбиение отрезка ; рассмотрим точки и ломаную , которая получается последовательным соединением точек и прямолинейными отрезками. Такие ломаные называют вписанными в кривую . Пусть – длина ломаной .

Кривая называется спрямляемой, если конечна величина , где верхняя грань берется по всем вписанным в ломаным. За значение длины кривой как раз и принимают указанную величину.

Оказывается, что для гладких кривых существует достаточно простой способ вычисления длинны .

Теорема: Гладкая кривая является спрямляемой, причем для ее длины справедлива следующая формула:

Пример 2.1.5.1. Найти длину астроиды .

Решение.

Дифференцируя уравнение астроиды, получим , отсюда .

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

Отсюда

Пример 2.1.5.2. Найти длину одной арки циклоиды

Решение.

Имеем и . Поэтому

Пределы интегрирования и соответствуют крайними точкам арки циклоиды.

Пример 2.1.5.3. Найти всю длину кардиоиды .

Решение.

В силу симметрии кривой найдем сначала половину длины. Поскольку , получим:

Отсюда .

Объем тела вращения

Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией . Рассмотрим формулу для вычисления – объема тела вращения, ограниченного плоскостями и и поверхностью вращения кривой вокруг оси в трехмерном пространстве.