Эрнст Кассирер (1874 - 1945) модернизировал философию науки Канта, учитывая новые открытия в физико-математических науках. Поскольку революционные открытия были сделаны прежде всего в математике, он начал с проблемы оснований математики. Он обнаружил, что решение вопроса о сущности научного познания зависит от логической трактовки сущности понятия и суждения. Задавшись вопросом о том, как образуются и функционируют математические понятия, он пришёл к выводу, что традиционная теория понятия, восходящая к Аристотелю, упускает самое существенное в работе мышления. Эта теория основана на метафизике субстанции, для которой мир состоит их вещей, обладающих свойствами. Отношение между вещами для этой метафизики вторично, определяется их собственными свойствами. Эмпиризм Нового времени заменил субстанции Аристотеля чувственными восприятиями, но логическую сущность понятия трактовал так же: сравнение, отвлечение, выделение общего признака. Эта трактовка совершенно не соответствует тому, что происходит в математике.

Математика начинает не с восприятия и абстрагирования, а с конструктивной дефиниции понятия. Первым актом научного познания является не восприятие, а полагание. Всё многообразие объектов математики не дано, но должно быть систематически порождено по правилам после задания первичных простых элементов. Математическое знание возникает не в результате внешнего воздействия на органы чувств, но в результате свободно-спонтанной, творческой, конструирующей деятельности мышления. И создаются этой деятельностью мышления не вещи и свойства, а отношения.

Математика не отображает данный в опыте мир, а создаёт новый мир. То же самое справедливо и по отношению к теоретической физике. Для объяснения этих теоретических миров нужно новое понимание мышления, основы которого заложил Кант. Он показал, что эмпирическое абстрагирование уже предполагает другую деятельность мышления. Для того, чтобы извлечь общее в ряду вещей, надо предварительно объединить вещи в этот ряд. Синтез предшествует анализу. Мы не можем найти ничего связанного в вещах, чего не связали сами. Изначальная деятельность синтеза, связывания многообразия в познании происходит по правилам. За всей эмпирической познавательной деятельностью скрывается спонтанная деятельность категориальных функций мышления. Всякая определённость чувственного восприятия – результат неявной работы мышления, «сработавших» категориальных функций. Ряд вещей, имеющих общие свойства – это не то, что дано, а то, что сделано нами посредством логических функций мышления. Система логических функций не зависит от конкретного содержания эмпирических восприятий, реализуется в разных восприятиях. Это система инвариантных отношений, которая может быть описана в чистом виде. Таков исходный замысел неотрансценденталистской, философии науки. У Канта эта система носит всеобщий и априорный, абсолютно неизменный характер, «встроена» в саму познавательную способность. Кассирер считает её изменяющейся, и суть науки для него – творческое создание таких систем логических отношений.

Первое понятие чисто науки – число. В числах и их отношениях мыслятся правила, позволяющие порождать упорядоченные многообразия. Число кажется «вещью», некоей «сущностью», но это не вещь, а правило связывания вещей, их отношение. Все числа «существуют» лишь в ряду и друг через друга, смысл числа - место в ряду. Число как место в системе отношений совершенно не зависит от природы тех вещей, которые могут быть «пересчитаны», т. е. поставлены в эти отношения. Аифметика создаёт и описывает в чистом виде логические функции, которые могут быть применены к любому материалу для его упорядочивания.

Геометрические фигуры также первоначально кажутся отдельными идеальными вещами, однако уже Декарт увидел возможность порождения любых фигур из начальных элементов по общему правилу, так что каждая из них занимает место в ряду системы отношений. Главное в геометрии – не свойства отдельных фигур, а порядок и связь всех возможных фигур. Все они возникают в ходе логического овладения пространством посредством чисел. Декартовское движение точки - это наглядное изображение числового ряда. Точка задаётся набором чисел (координат), траектория – закон связи, или отношение чисел. В геометрии исчезают субстанции, остаются функции.

Дифференциальные уравнения, задающие кривую, - тоже принципы числового ряда, задающие порядок перехода от одной точки к другой. Скорость – это соответствие двух числовых рядов, точек пространства и моментов времени. Скорость в науке – функциональное отношение идеальных многообразий. Важно понимать, что то движение тел, которое описывает наука, происходит не в пространстве чувственного восприятия, а в концептуальном пространстве геометрии, где все места получают определённость (или различие) исключительно через числовое отношение друг к другу. Эти пространства мыслятся, а не воспринимаются, и представляют собой продукт свободного, априорного конструирования, что стало ещё более очевидным в результате создания неевклидовых геометрий.

Отношение геометрических представлений к действительности характеризуется не понятием «отражения» или «соответствия-несоответствия» (истинности-ложности), а понятием применения. Геометрию невозможно «проверить на опыте», или сопоставить с «самой действительностью», поскольку опыт, который что-нибудь говорит нам, уже логически оформлен. Опыт создаётся нами, и просто не возникает без применения логических (в том числе математических) функций.

Поскольку наука о природе имеет математический характер, всё сказанное относится и к ней, несмотря на то, что физика, в отличие от математики, основана на опыте и должна познавать внешний мир, от нас не зависящий. Кажется, что здесь нет места свободе: чем меньше идёт «от нас», чем больше идёт от самого предмета, тем знание объективнее. Физика должна точно описывать то, что фактически дано в опыте, как на самом деле ведут себя вещи. Однако первый отличительный признак научного познания природы – его математическая форма. Учёный должен считать и измерять, а математика свободно конструирует, и после получения результатов измерения доля логико-математической компоненты лишь увеличивается. Самое начало научного исследования природы, то есть точное фиксирование фактов, тотчас заменяет действительность числами, выраженными в них физическими «величинами».

Здесь и возникает настоящая проблема философии науки: как происходит «перенесение» свободных идеальных конструкций в сферу фактов? Как происходит «переплетение» чувственного и логического, рецептивного и спонтанного?

Ньютоновская механика описывает движение тел в непрерывном, однородном, пустом, бесконечном пространстве – математическом пространстве чистой геометрии. Это движение происходит в абсолютном, равномерно текущем времени, которое в опыте не дано. Первый закон движения говорит о покое или равномерном и прямолинейном движении тела, на которое не действуют никакие силы – о том, что никогда не наблюдалось. Движения, точно описываемые механикой, чувствами не воспринимается, существует лишь в понятии, для мышления. Первый же подход к механике как науке показывает, что она бесконечно далеко выходит за пределы чувственного восприятия. В ней происходит не описание того, что дано,  а какое-то творческое преобразование данного, и создание другого мира. Все «законы природы» имеют силу для несуществующих вещей и в тех условиях, которые никогда не имеют места в действительности. Мы описываем и объясняем то, что нам дано при помощи того, что нам не дано ни в каком опыте, того, что создано нами самими.

В каком же отношении созданный нами теоретический мир находится к содержанию чувственного восприятия и к самой реальности, данной в этом восприятии?

Пьер Дюгем (1861-1916) хорошо описал различие между миром обыденного восприятия и миром физических объектов. Физик живёт в двух мирах одновременно, видит одно, а говорит о другом. Видит столбик термометра, говорит о температуре, смотрит на амперметр, говорит о силе тока. Это значит, по Кассиреру, что смысл физического понятия – в этом переходе от отдельного, субъективного восприятия к суждению о физическом объекте. Связывая системой отношений отдельные восприятия, наблюдения, эксперименты, понятие упорядочивает и объективирует их. Физические понятия упорядочивает восприятия так, что мы «видим» через них и в них мир физических объектов, а разрозненные восприятия становятся опытом. Поэтому физические объекты, которые описывает научная теория – это не некая отдельная «вещь», а форма связи наблюдений и экспериментов, делающая их единым для всех опытом. Понятия теоретической физики – не копии того, что находятся «за» восприятиями, в мире «самом по себе»; это – интерсубъективные апперцептивные гипотезы для схватывания многообразия восприятий в единое связное целое. Они включаеют новые наблюдения в единство научного физического сознания. Теоретики разрабатывают возможные типы координирования. Экспериментаторы применяют их к восприятиям.

Физическая сила - функциональная зависимость величин. Атом – такое же полагание единицы в физике, каким является полагание единицы в арифметике. Простота, или неделимость атома – логическая. Содержание понятия атома изменялось, но его логическая функция в физике оставалась неизменной. Эфир начал как упругая жидкость, а закончил полем, как числовой дифференциацией пространства. Абсолютное пустое пространствоНьютона - идея, принцип. Оно не более загадочно, чем число. Атом в этом отношении не отличается от пустоты и числа. То же самое справедливо относительно энергии. Как некая «субстанция» она совершенно непонятна, но совершенно понятна как система отношений, как ряд рядов физических величин, их корреляция, как мысленная точка зрения, которая делает все физические явления соизмеримыми. Элементарные частицы – это не реально существующая основа эмпирических восприятий, а их связь друг с другом; они находятся не «за» восприятиями, а «между» ними, как их мысленный обзор, их «схема». Самим физикам кажется, что они говорят об «атомах», «элементарных частицах» и т. д., но если присмотреться внимательнее, то выяснится, что говорят они на самом деле о связи физических явлений, их свойств и характеристик. Объекты теоретической физики - регулятивные идеи, которые в силу естественно возникающей иллюзии кажутся самостоятельно существующими вещами. Если принимать их за «саму реальность», то образуется своеобразный «потусторонний мир», который никому сам по себе никогда не дан, а жизненный мир повседневности превращается в субъективную иллюзию.

Спонтанно-творчески создаваемые системы идеальных отношений «накладываются» на неопределённо-текучее, многообразное содержание восприятий, подставляют под него твёрдые простые определённые элементы, из которых то же многообразие уже можно выводить по фиксированным правилам. Постоянно изменяющийся, расширяющийся материал опыта столь же постоянно вкладывается в априорные математические ряды, в системы постоянных отношений. Эти отношения и есть собственно субстанциальное во всех явлениях, устойчивое и неизменное при всех переменах. И все эти ряды отношений есть гипотезы, так что одни ряды со временем уступают место другим. Но при замене сравнивается не идеальный ряд с фактами, а одна система фактов (в которой уже заключён этот ряд) – с другой системой фактов.

Ясно далее, что если имеет место смена теорий и мы способны сознавать эти теоретические изменения, то имеется общая мера для всех теорий. Следовательно, существуют некоторые высшие основоположения, значимые для науки в целом как таковой, значимые для всякого научного опыта вообще. Формальные элементы, которых не может не быть ни в какой системе опыта (фактов, «схваченных» теоретическими представлениями). Это – категории пространства, времени, причинности, величины, функции и т. д. Следовательно, есть высшие логические функции, смысл которых совершенно не зависит от материальных элементов, от содержания чувственного восприятия. Смысл подлинной философии науки – найти эти абсолютные инварианты всех возможных теорий, то есть – условия возможности всякой научной теории, всякого нахождения законов природы и всякого объективного факта вообще. Именно так, собственно, ставил вопрос Кант.

Таким образом, объекты, о которых говорит наука, формируются в самом прогрессе опыта. Они не «трансцендентны» познанию (вещи сами по себе), а имманентны ему. Объекты научной теории существует в том же смысле, что и числа, посредством них всё изменчивое и неопределённое содержание чувственных восприятий включается в единство человеческого опыта. Эти объекты создаются и примысливаются к данному нами самими. Мы не познаём «предметы», мы познаём предметно. Познание и есть объективирование восприятий, отнесение их к одному и тому же объекту. Объект (вещь, предмет) - не то, что за границей нашего познания, а основное понятие всего нашего познания. Существуют не вещи «сами по себе», а логическая функция предметности, категориальная форма, которая наполняется постоянно изменяющимся эмпирическим материалом, благодаря чему возникают и сменяют друг друга различные физические реальности – «миры» Демокрита, Аристотеля, Ньютона, Эйнштейна.