Докажем теперь формулу для производной однородного полинома -й степени при симметричной матрице коэффициентов А.

Если матрица  в которой мультииндексы  содержат по  индексов, а мультииндекс  произвольное число индексов, симметрична относительно мультииндексов , то

 .         (3.2.38)

Доказательство формулы (3.2.38) выполним по индукции. Для  и  она справедлива (см. формулы (3.2.26), (3.2.31)). Найдем производную функции

как производную произведения. Получим

. (3.2.39)

Подставив сюда производную (3.2.38), будем иметь

.

Докажем, что

.                 (3.2.40)

Для того чтобы выполнялось умножение  и равенство (3.2.39), матрицу  в процессе доказательства необходимо предположить имеющей вид , где мультииндексы  содержат по  индексов, мультииндекс  содержит произвольное количество индексов, и матрица  симметрична относительно мультииндексов . Доказательство равенства (3.2.40) проведем для случая, когда , , . С учетом принятых обозначений для правой и левой частей равенства (3.2.40) получим

          (3.2.41)

,

,

,

.                           (3.2.42)

Мы видим, что если матрица  симметрична относительно мультииндексов  и , то матрицы  (3.2.41) и  (3.2.42) равны. Аналогично можно доказать равенство (3.2.40) и для случая, когда мультииндекс  в матрице  содержит  индексов,  Таким образом мы доказали, что из формулы для производной -й степени  следует такая же формула для производной -й степени . Доказательство формулы (3.2.38) закончено.

Производные высших порядков однородного полинома произвольной степени

Применяя последовательно формулу (3.2.38), получим производные более высоких порядков однородного полинома -й степени при симметричной матрице коэффициентов :

,              (3.2.43)

,        (3.2.44)

, (3.2.45)

и вообще

. (3.2.46)

В частности, при  получаем

.                                (3.2.47)

Формулы (3.2.43) – (3.2.47) показывают, что имеется впечатляющая аналогия между многомерно-матричным дифференцированием и скалярным дифференцированием.

3.2.12. Производная -обратной матрицы

Матрица , -обратная к -мерной матрице -го порядка  относительно , является функцией исходной матрицы , и поэтому естественно говорить о производной обратной матрицы. Она определяется формулой

.    (3.2.48)

Для доказательства обозначим  и воспользуемся соотношением (см. формулу (2.5.2))

.

По правилу неявного дифференцирования (3.2.18) получим уравнение

, .        (3.2.49)

Так как

, ,

то, подставив эти выражения в уравнение (3.2.49), получим

.

Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу  в смысле -свернутого произведения, получаем формулу (3.2.48).

3.2.13. Производная -обратной двухмерной матрицы

Пусть  – двухмерная матрица -го порядка и  – -обратная к

 ней матрица относительно . Тогда

,       (3.2.50)

где для краткости обозначено . Эта формула является частным случаем формулы (3.2.48) при .